Sorozatok tulajdonságai

Ugrás a fő tartalomjegyzékre

\( \newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\halmaz}[1]{\left\{\,#1\,\right\}} \newcommand{\halmazvonal}[2]{\left\{\,#1\mid #2\,\right\}} \newcommand{\halmazpont}[2]{\left\{\,#1:#2\,\right\}} \def\st{:} \def\U{\mathcal U} \def\pow{\mathcal P} \newcommand{\card}[1]{\left| #1 \right|} \newcommand{\avec}{{\mathbf a}} \newcommand{\bvec}{{\mathbf b}} \newcommand{\evec}{{\mathbf e}} \newcommand{\vvec}{{\mathbf v}} \newcommand{\xvec}{{\mathbf x}} \newcommand{\yvec}{{\mathbf y}} \newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]} \newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]} \newcommand{\real}{{\mathbb R}} \newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}} \newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}} \newcommand{\tta}{A} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\bbm}{\begin{bmatrix}} \newcommand{\ebm}{\end{bmatrix}} \newcommand{\ttaxb}{\tta\vx=\vb} \newcommand{\vb}{\vec{b}} \newcommand{\vx}[1][]{\vec{x}_{#1}} \newcommand{\lda}{\lambda} \newcommand{\tti}{I} \newcommand{\zero}{\vec{0}} \newcommand{\ttb}{B} \newcommand{\ttc}{C} \newcommand{\ttd}{D} \newcommand{\eyetwo}{\begin{bmatrix}1\amp 0\\0\amp 1\end{bmatrix}} \newcommand{\eyethree}{\begin{bmatrix}1\amp 0\amp 0\\0\amp 1\amp 0\\0\amp 0\amp 1\end{bmatrix}} \newcommand{\abs}[1]{\left\lvert #1\right\rvert} \newcommand{\lzoo}[2]{{\left(#2\right)'}} \newcommand{\fp}{f'} \newcommand{\Fp}{F\primeskip'} \newcommand{\lt}{<} \newcommand{\gt}{>} \newcommand{\amp}{&} \definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9} \newcommand{\fillinmath}[1]{\mathchoice{\colorbox{fillinmathshade}{$\displaystyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\textstyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\scriptstyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\scriptscriptstyle\phantom{\,#1\,}$}}} \)

Pont 2.2 Sorozatok tulajdonságai

Ebben a fejezetben sorozatok különféle tulajdonságaival ismerkedünk meg, mint korlátosság, monotonitás, konvergencia.

Definíció 2.2.1.

Azt mondjuk, hogy az \(a_n\) sorozat

(szigorú) monoton növekedő, ha minden \(n\in\mathbb{N}\) esetén \(a_n \leq a_{n+1}, (a_n \lt a_{n+1}).\)
(szigorú) monoton csökkenő, ha minden \(n\in\mathbb{N}\) esetén \(a_n \geq a_{n+1}, (a_n \gt a_{n+1}).\)
alulról korlátos, ha létezik \(c_1\in\mathbb{R},\) hogy minden \(n\in\mathbb{N}\) esetén \(a_n \geq c_1.\)
felülről korlátos, ha létezik \(c_2\in\mathbb{R},\) hogy minden \(n\in\mathbb{N}\) esetén \(a_n \leq c_2.\)

Definíció 2.2.2.

Az \(a_n\) sorozat határértéke \(A,\) ha minden \(\varepsilon\gt 0\) létezik olyan \(N_0\) küszöbindex, hogy minden \(n\geq N_0\) esetén teljesül, hogy

\begin{equation*} |a_n - A| \lt \varepsilon. \end{equation*}

Jelölés: \(\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = A.\)

Szabályok.

Legyen \(a_n\) és \(b_n\) két konvergens sorozat, úgy, hogy \(\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = A\) és \(\lim_{n\rightarrow\infty} b_n = B.\) Legyen továbbá \(u,v\in\mathbb{R}\) konstansok, ekkor

\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} ua_n\pm vb_n = uA\pm vB,\)
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} a_nb_n = AB,\)
ha minden \(n\in\mathbb{N}\) esetén \(b_n\neq 0\) és \(B\neq 0,\) akkor az \(\frac{a_n}{b_n}\) sorozat létezik és \(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}.\)

Nevezetes határértékek.