Pont 4.2 Cramer-szabály
Az előző fejezetben megismertük a determinánst, de nem adtunk igazán jó indokot miért szeretnénk kiszámítani. Ez a fejezet a determináns egy alkalmazását mutatja be: lineáris egyenletrendszerek megoldása.
Tétel 4.2.1. Cramer-szabály.
Legyen \(\tta\) egy \(n\times n\) mátrix olyan, hogy \(\det(A)\neq 0\) és \(\vb\) egy \(n\times 1\) oszlopvektor. Ekkor az alábbi lineáris egyenletrendszernek
\begin{equation*}
\ttaxb
\end{equation*}
a megoldására igaz, hogy
\begin{equation*}
x_i = \frac{\det(\tta_i(\vb))}{\det(A)}\text{,}
\end{equation*}
ahol \(\tta_i(\vb)\) az a mátrix, amelynél az \(i\)-ik oszlopot kicseréljük \(\tta\)-ban a \(\vb\) vektorra.
Példa 4.2.2. Alkalmazás: Cramer-szabály.
Alkalmazzuk a Cramer-szabályt az \(\ttaxb\) egyenletrendszerre, ahol
\begin{equation*}
\tta = \bbm 1 \amp 2\\3 \amp 4\ebm \ \text{ and } \ \vb = \bbm -1\\1\ebm\text{.}
\end{equation*}
Megoldás.
Az \(\tta\) determinánsa \(-2\text{,}\) azaz alkalmazható a szabály.
\begin{align*}
\det(\tta_1(\vb)) \amp = \bvm \mathbf{-1} \amp 2\\ \mathbf{1} \amp 4\evm = -6\\
\det(\tta_2(\vb)) \amp = \bvm 1 \amp \mathbf{-1}\\ 3 \amp \mathbf{1} \evm = 4\text{.}
\end{align*}
Ekkor
\begin{align*}
x_1 \amp = \frac{\det(\tta_1(\vb))}{\det(A)} = \frac{-6}{-2} = 3\\
x_2 \amp = \frac{\det(\tta_2(\vb))}{\det(A)} = \frac{4}{-2} = -2\text{,}
\end{align*}
és
\begin{equation*}
\vx = \bbm x_1\\x_2\ebm = \bbm 3\\-2\ebm\text{.}
\end{equation*}
Példa 4.2.3. Még egy Cramer-szabály példa.
Alkalmazzuk a Cramer-szabályt az \(\ttaxb\) egyenletrendszerre, ahol
\begin{equation*}
\tta = \bbm 1 \amp 5 \amp -3\\1\amp 4\amp 2\\2\amp -1\amp 0 \ebm \ \text{ and }\ \vb = \bbm-36\\-11\\7\ebm\text{.}
\end{equation*}
Megoldás.
Kiszámítjuk az \(\tta\) determinánsát, hogy megtudjuk alkalmazható-e a Cramer-szabály.
\begin{equation*}
\det(A) = \bvm 1 \amp 5 \amp -3\\1\amp 4\amp 2\\2\amp -1\amp 0\evm = 49\text{.}
\end{equation*}
Mivel \(\det(A)\neq 0\text{,}\) így a szabály használható ebben az esetben is. Meghatározzuk \(\det(\tta_1(\vb))\text{,}\) \(\det(\tta_2(\vb))\) és \(\det(\tta_3(\vb))\) értékeit.
\begin{equation*}
\det(\tta_1(\vb)) = \bvm \mathbf{-36} \amp 5 \amp -3\\ \mathbf{-11}\amp 4\amp 2\\ \mathbf{7}\amp -1\amp 0 \evm = 49\text{.}
\end{equation*}
(Vastagon szedtük az oszlopot a helyettesítésnél.)
\begin{align*}
\det(\tta_2(\vb)) \amp = \bvm 1\amp \mathbf{-36}\amp -3\\1\amp \mathbf{-11}\amp 2\\2\amp \mathbf{7}\amp 0\evm = -245\\
\det(\tta_3(\vb)) \amp = \bvm 1\amp 5\amp \mathbf{-36}\\1\amp 4\amp \mathbf{-11}\\2\amp -1\amp \mathbf{7}\evm = 196\text{.}
\end{align*}
A megoldások tehát \(\vx\text{:}\)
\begin{align*}
x_1 \amp = \frac{\det(\tta_1(\vb))}{\det(A)} = \frac{49}{49} = 1\\
x_2 \amp = \frac{\det(\tta_2(\vb))}{\det(A)} = \frac{-245}{49} = -5\\
x_3 \amp = \frac{\det(\tta_3(\vb))}{\det(A)} = \frac{196}{49} = 4\text{.}
\end{align*}
Azaz
\begin{equation*}
\vx = \bbm x_1\\x_2\\x_3\ebm = \bbm 1\\-5\\4\ebm\text{.}
\end{equation*}
