Pont 9.2 Deriválási szabályok
Most elkezdjük egy olyan eszközgyűjtemény felépítését, amely segít a bonyolult függvények deriválásának problémáját a számos egyszerű függvény deriválásának problémájára redukálni.
Tétel 9.2.1. A differenciálás linearitása.
Legyenek \(f(x),g(x)\) differenciálható függvények, \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) pedig konstansok. Definiáljuk a következő “lineáris kombinációt”
\begin{align*}
S(x) &= \alpha f(x) + \beta g(x).
\end{align*}
Ekkor \(S(x)\) deriváltja létezik és
\begin{align*}
S'(x) &= \alpha f'(x) + \beta g'(x).
\end{align*}
Sajnos a derivált nem működik olyan egyszerűen a szorzatokra illetve hányadosokra. A szorzatok és hányadosok deriváltjainak kiszámítására vonatkozó szabályok saját neveket és tételeket kaptak.
Tétel 9.2.2. A szorzat deriváltja.
Legyenek \(f(x),g(x)\) differenciálható függvények, ekkor a szorzat \(f(x)g(x)\) deriváltja létezik és a következőképpen adható meg
\begin{align*}
\big( f(x) \, g(x) \big)' &= f'(x) \, g(x) + f(x) \, g'(x).
\end{align*}
Tétel 9.2.3. A hányados deriváltja.
Legyenek \(f(x), g(x)\) differenciálható függvények. Ekkor a hányadosuk deriváltja
\begin{align*}
\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' &=
\frac{f'(x) \, g(x) - f(x) \, g'(x)}{g(x)^2}.
\end{align*}
Ez a derivált létezik, kivéve azokon a pontokon, ahol \(g(x)=0\text{.}\)A fenti két szabályból könnyen nyerhetünk hasznos eredményeket speciális választások mellett. Például a szorzat esetében \(f(x)=g(x)\) esetében megkapjuk \(f(x)^2\) deriváltját, illetve a hányados esetében \(f(x)=1\) mellett a \(g(x)\) függvény reciprokának deriváltját tudjuk meghatározni.
Következmény 9.2.4. Függvény négyzetének deriváltja.
Legyen \(f(x)\) differenciálható függvény, ekkor a négyzete deriválható és teljesül a következő:
\begin{align*}
\big(f(x)^2 \big)' &= 2\, f(x)\, f'(x).
\end{align*}
Következmény 9.2.5. Függvény reciprokának deriváltja.
Legyen \(g(x)\) differenciálható függvény, ekkor a \(g\) reciprokának deriváltja:
\begin{align*}
\left( \frac{1}{g(x)} \right)' &= -\frac{g'(x)}{g(x)^2}
\end{align*}
kivéve azokat a pontokat, ahol \(g(x)=0\text{.}\)
Összetett függvények esetében a következő tétel segítségével tudjuk meghatározni a deriváltat.
Tétel 9.2.6. A láncszabály.
Legyenek \(f\) és \(g\) differenciálható függvények, ekkor
\begin{align*}
\left(f\big( g( x) \big)\right)' &= f'\big(g(x)\big) \cdot g'(x).
\end{align*}
Nézzünk pár példát a fenti deriválási szabályok alkalmazására.
Példa 9.2.7. \((4x + 7)'\).
A linearitásra vonatkozó szabály alapján:
\begin{align*}
(4x + 7)'
&= 4 \cdot ( x )' + 7 \cdot ( 1 )' & \\
&= 4 \cdot 1 + 7 \cdot 0 = 4
\end{align*}
azaz a linearitási szabályt alkalmaztuk az \(f(x)=x\text{,}\) \(g(x)=1\text{,}\) \(\alpha=4\text{,}\) \(\beta=7\) választások mellett.
Példa 9.2.8. \(\big( x ( 4x + 7) \big)'\).
Az előző példára építve tekintsünk most egy szorzatot:
\begin{align*}
\big( x ( 4x + 7) \big)'
&= x \cdot ( 4x + 7 )' + (4x+7) ( x )' &\\
&= x \cdot 4 + (4x+7) \cdot 1\\
&= 8x+7
\end{align*}
itt a szozat deriváltját használtuk \(f(x) =x\) és \(g(x)=4x+7\) választásokkal.
Példa 9.2.9. \(\left( \frac{x}{4x + 7} \right )'\).
A hányadosokra vonatkozó szabályból kapjuk, hogy:
\begin{align*}
\left( \frac{x}{4x + 7} \right )'
&= \frac{ (4x+7) \cdot (x)' - x \cdot ( 4x + 7 )'}{(4x+7)^2}
&\\
&= \frac{ (4x+7) \cdot 1 - x \cdot 4 }{(4x+7)^2}\\
&= \frac{7}{(4x+7)^2}
\end{align*}
azaz a hányadosokra vonatkozó szabályt az \(f(x) =x\) és \(g(x)=4x+7\) függvényekre alkalmaztuk.
Az alábbi alkalmazás segítségével megnézhetjük pár gyakrabban előforduló függvény deriváltját. A SageMath-ban használt jelölésekkel kapcsolatban fontos megjegyezni, hogy \(\log(x)\) a természetes alapú logaritmust jelöli (azaz a jegyzetben ez \(\ln(x)\)), a \(\log(x)/log(a)\) pedig nem más, mint \(\log_a(x).\)
SageMath applikáció: néhány fontos derivált.
Példa 9.2.10. A \((\sin x)^5\) deriváltja.
Legyen \(f(x) = x^5\) és \(g(x) = \sin(x)\text{.}\) A kérdéses összetett függvény ekkor \(F(x) = f\big(g(x)\big) = \big(\sin(x)\big)^5\text{.}\) Alkalmazzuk a láncszabályt:
\begin{align*}
f(x) &= x^5 & f'(x) &= 5x^4\\
g(x) &= \sin(x) & g'(x) &= \cos x
\end{align*}
Innen adódik, hogy
\begin{align*}
F(x)' &= f'\big(g(x)\big) \cdot g'(x)\\
&= 5\big(g(x)\big)^4 \cdot \cos(x) & \text{mivel } f'(x) = 5x^4\\
&= 5 \big(\sin(x)\big)^4 \cdot \cos(x)
\end{align*}
