Ugrás a fő tartalomjegyzékre
Logo image

MÉK Matematika

Tengely Szabolcs

Pont 1.1 Halmazok

A matematikában egy halmaz egy objektumok gyűjteménye, amelyeket elemeknek nevezünk. Általában a halmazokat nagybetűkkel, az elemeket pedig kisbetűkkel jelöljük. Ha \(A\) egy halmaz, és \(a\) az \(A\) eleme, akkor \(a\in A\)-t írunk. Ha \(a\) nem az \(A\) eleme, akkor \(a\notin A\)-t írunk. Most azzal a problémával foglalkozunk, hogyan lehet egy halmazt létrehozni.
  • Halmazok felsorolással. Ha van egy halmaz, amely bizonyos elemeket tartalmaz, akkor ezeket az elemeket kapcsos zárójelbe tesszük. Például, ha \(A\) egy halmaz, amely 1, 2 és 3 elemeket tartalmaz, akkor \(A=\halmaz{1,2,3}\)-t írunk. Ez a jelölés nehezen használható, ha a megadott halmaz sok elemet tartalmaz. Ebben az esetben csak néhány (általában egymás utáni) elemet sorolunk fel úgy, hogy könnyen látható legyen, melyek a halmaz többi elemei. Például tegyük fel, hogy \(B\) egy halmaz, amely tartalmazza az 1 és 1000 közötti egész számokat. Itt \(B=\halmaz{1,2,3,\ldots,1000}\)-t írunk. Ha \(C\) a 1 és 99 közötti páratlan egész számokat tartalmazó halmaz, akkor \(C=\halmaz{1,3,5,\ldots,99}\text{.}\) Lehetőség van néhány halmazcsalád megadására is, például
    \begin{equation*} D_1=\{1\}, D_k=\halmaz{1,3,\ldots,2k-1}\text{.} \end{equation*}
    Ebben az esetben \(D_k\) az első \(k\) pozitív páratlan egész számokat tartalmazó halmazt jelöli.
    \(k\) \(D_k\)
    1 \(\halmaz{1}\)
    2 \(\halmaz{1,3}\)
    3 \(\halmaz{1,3,5}\)
    4 \(\halmaz{1,3,5,7}\)
  • Fontosabb/ismert halmazok. Vannak bizonyos gyakran használt halmazok, amelyeknek saját szimbólumaik vannak. Ezek a természetes számok halmaza, az egész számok halmaza, a racionális számok halmaza, a valós számok halmaza és a komplex számok halmaza. \(\mathbb{N}=\halmaz{1,2,3,\ldots}\text{,}\) a természetes számok halmaza. \(\mathbb{Z}=\halmaz{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots}\text{,}\) az egész számok halmaza. \(\mathbb{Q}\text{,}\) a racionális számok halmaza. \(\mathbb{R}\text{,}\) a valós számok halmaza. \(\mathbb{C}\text{,}\) a komplex számok halmaza.
  • Halmazépítő jelölés. A halmazokat a úgynevezett halmazépítő jelölés segítségével is definiálhatjuk. Például vegyük a \(D_3=\halmaz{1,3,5}\) halmazt, ezt a halmazt sok különböző módon definiálhatjuk, például\
    \begin{align*} \halmaz{1,3,5}\amp =\halmazvonal{a}{(a-1)(a-3)(a-5)=0},\\ \halmaz{1,3,5}\amp =\halmazvonal{a}{a=2k-1, k\in\halmaz{1,2,3}},\\ \halmaz{1,3,5}\amp =\halmazvonal{a}{1\leq a\leq 5, \mbox{ és \(a\) páratlan} }\text{.} \end{align*}
    Használhatunk pontosvesszőt is a függőleges vonal helyett:
    \begin{align*} \halmaz{1,3,5}\amp =\halmazpont{a}{(a-1)(a-3)(a-5)=0},\\ \halmaz{1,3,5}\amp =\halmazpont{a}{a=2k-1, k\in\halmaz{1,2,3}},\\ \halmaz{1,3,5}\amp =\halmazpont{a}{1\leq a\leq 5, \mbox{ és \(a\) páratlan} }\text{.} \end{align*}
    Definiáljuk a pozitív páros számokat:
    \begin{equation*} \halmazvonal{2n}{n\in\mathbb{N}}\text{.} \end{equation*}
    A racionális számok halmaza definiálható az alábbi módon:
    \begin{equation*} \halmazvonal{a/b}{a,b\in\mathbb{Z}, b\neq 0}\text{.} \end{equation*}
Néhány alapvető halmaz tulajdonságának tanulmányozásához néhány definíciót adunk meg. Először bevezetjük a számosság fogalmát.

Definíció 1.1.1.

Egy halmaz véges akkor, ha véges számú eleme van. Ha egy halmaz nem véges, akkor végtelen.
Most a véges halmazok számosságát vizsgáljuk. A végtelen halmazok számossága bonyolultabb, és ezt nem fogjuk megvitatni.

Definíció 1.1.2.

Legyen \(A\) egy véges halmaz. Számosság \(A\) esetében az \(A\) különböző elemeinek száma. Jelölés: \(|A|\text{.}\)
Például, a \(D_3\) halmaz számossága 3, és a \(\halmaz{1,2,3,6,7,8}\) halmaz számossága 6.

Definíció 1.1.3.

Legyen \(A\) és \(B\) két halmaz. A \(B\) halmaz részhalmaza \(A\)-nak, pontosan akkor ha \(B\) minden eleme \(A\) eleme. Jelölés: \(B\subseteq A\text{.}\)
Van egy különleges halmaz, amely minden halmaz részhalmaza, az úgynevezett üres halmaz. Ahogy a neve is sugallja, ez az a halmaz, amelynek nincs eleme, azaz a számossága 0. Az üres halmazt \(\emptyset\) jelöli.

Definíció 1.1.4.

Ha \(B\subseteq A\) és \(B\neq\emptyset, B\neq A\text{,}\) akkor \(B\) valódi részhalmaza \(A\)-nak.

Definíció 1.1.5.

Legyen \(A\) és \(B\) halmazok. A két halmaz egyenlő, ha \(A\subseteq B\) és \(B\subseteq A\text{.}\)
Ha összegyűjtjük az \(A\) összes részhalmazát egy új halmazba, akkor halmazok egy halmazát kapjuk. Az \(A\) összes részhalmazának halmazát hatványhalmaznak nevezzük, és \(\pow(A)\)-ként jelöljük. Összesen hány részhalmaza van \(A\)-nak? Más szavakkal, mi \(|\pow(A)|\) (az \(A\) hatványhalmazának számossága)? Gondoljunk arra, hogyan építenénk fel egy részhalmazt. Minden egyes \(A\)-beli elemnél el kell döntenünk, hogy belefoglaljuk-e az elemet a részhalmazunkba. Minden egyes \(n\) elemre 2 választási lehetőségünk van. Ezért a részhalmazok száma egyszerűen
\begin{equation*} \prod_{k=1}^n 2 = 2\cdot 2\cdot \cdots 2\cdot 2 = 2^n. \end{equation*}
Bevezetünk néhány műveletet halmazok között.

Definíció 1.1.6.

Legyen \(A\) és \(B\) halmaz. Az metszet \(A\) és \(B\) között a \(\halmazvonal{x}{ x\in A \mbox{ és } x\in B}\) halmaz. Jelölés: \(A\cap B\text{.}\)
Az úgynevezett Venn-diagramok gyakran hasznosak a halmazok esetében a helyzet jobb megértéséhez. A megfelelő terület árnyékolásával illusztráljuk \(A\) és \(B\) metszetét.
Legyen \(A=\halmaz{1,2,3,4,5}\) és \(B=\halmaz{3,4,5,6,7}\text{.}\) A két halmaznak a metszete az \(A\cap B=\halmaz{3,4,5}\) halmaz.

Definíció 1.1.7.

Legyen \(A\) és \(B\) halmaz. Az unió \(A\) és \(B\) között a \(\halmazvonal{x}{x\in A \mbox{ vagy } x\in B}\) halmaz. Jelölés: \(A\cup B\text{.}\)
A kapcsolódó Venn-diagram a következő.
Legyen \(A=\halmaz{1,2,3,4,5}\) és \(B=\halmaz{3,4,5,6,7}\text{.}\) E két halmaz uniója a \(A\cup B=\halmaz{1,2,3,4,5,6,7}\) halmaz. Könnyen látható, hogy az alábbi tulajdonságok érvényesek: \(A\cap B=B\cap A\) és \(A\cup B=B\cup A\text{.}\) Ez nem igaz a két halmaz különbségére.

Definíció 1.1.8.

Legyenek \(A\) és \(B\) halmazok. A különbség \(A\) és \(B\) között a \(\halmazvonal{x}{ | x\in A \mbox{ és } x\notin B}\) halmaz. Jelölés: \(A\setminus B\text{.}\)
Az \(A\setminus B\) művelethez tartozó Venn-diagram:
A különbség megértéséhez \(A\setminus B\) és \(B\setminus A\) között rajzoljuk a \(B\setminus A\) Venn-diagramját is:
Ismét legyen \(A=\halmaz{1,2,3,4,5}\) és \(B=\halmaz{3,4,5,6,7}\text{.}\) Ekkor kapjuk, hogy
\begin{align*} A\setminus B \amp =\halmaz{1,2},\\ B\setminus A \amp =\halmaz{6,7}\text{.} \end{align*}
Most bevezetjük a halmazok szimmetrikus különbségét (vagy szimmetrikus differencia).

Definíció 1.1.9.

Legyenek \(A\) és \(B\) halmazok. A szi­met­ri­kus különbség \(A\) és \(B\) között a \((A\cup B)\setminus(A\cap B)\) halmaz. Jelölés: \(A\triangle B\text{.}\)
Az \(A\) és \(B\) szimmetrikus különbségének Venn-diagramja:
Példát adunk az \(A=\halmaz{1,2,3,4,5}\) és \(B=\halmaz{3,4,5,6,7}\) halmazok használatával. Megkapjuk, hogy
\begin{equation*} A\triangle B=\halmaz{1,2,6,7}\text{.} \end{equation*}
Végezetül definiáljuk egy halmaz komplementerét.

Definíció 1.1.10.

Legyen \(U\) egy halmaz (univerzumnak nevezve), és \(A\) az \(U\) egy részhalmaza. \(A\) komplementere azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek \(U\)-ban vannak, de nem tartoznak \(A\)-hoz. Jelölés: \(\overline{A}\text{.}\)
A megfelelő Venn-diagram a következő.
Példaként vegyük a következő halmazokat \(U=\{1,2,3,4,5,6\}\) és \(A=\{1,3,5\}\text{.}\) \(A\) komplementere a \(\{2,4,6\}\) halmaz.
Van még egy mód a halmazok kombinálására, ami hasznos lesz számunkra: a Descartes szorzat, \(A \times B\text{.}\) Ez jól hangzik, de semmi olyat nem tartalmaz, amit még nem láttunk. Amikor egy függvényt ábrázolunk a kalkulusban, a megfelelő Descartes síkban ábrázoljuk. Ez a valós számok összes rendezett párjának halmaza \((x,y)\text{.}\) Ezt bármely pár halmazra megtehetjük, nem csak a valós számok esetében.

Definíció 1.1.11.

Adott \(A\) és \(B\) halmazok, legyen
\begin{equation*} A \times B = \{(x,y) \st x \in A \wedge y \in B\}\text{,} \end{equation*}
amely az összes rendezett párt tartalmazza \((x,y)\text{,}\) ahol \(x\) az \(A\) eleme, és \(y\) a \(B\) eleme. Az \(A \times B\)-t Descartes szorzatnak nevezzük \(A\) és \(B\) esetében.
Az első koordináta az első halmazból, a második koordináta a második halmazból származik. Néha szeretnénk a halmaznak önmagával vett Descartes szorzatát venni, ami: \(A \times A = \{(a,b) \st a, b \in A\}\) (ezt a halmazt \(A^2\) -ként is írhatjuk). Három vagy több halmaz Descartes szorzatát is vehetjük, rendezett hármasokat, vagy négyeseket, és így tovább kapunk.

Feladatok Feladatok

1.

Legyen \(A=\halmaz{3,4,6,7,8},B=\halmaz{2,4,5,6,8}\) és \(C=\halmaz{1,2,4,5,8}\text{.}\) Mik a \((A\setminus B)\cup(C\cap B)\) halmaz elemei?

2.

Legyen \(A=\halmaz{1,3,4,6,7},B=\halmaz{2,4,5,6,8}\) és \(C=\halmaz{1,3,4,5,8}\text{.}\) Mik a \((A\cap B)\setminus(C\cap B)\) halmaz elemei?

3.

Legyen \(A=\halmaz{1,3,4,6,7},B=\halmaz{2,4,6,8}\) és \(C=\halmaz{1,3,4,8}\text{.}\) Mik a \((A\setminus B)\cup(C\setminus B)\) halmaz elemei?

4.

Sorold fel a következő halmazok összes elemét:
(a) \(\halmazvonal{3k+1}{k\in\halmaz{2,3,4}}\text{,}\)
(b) \(\halmazvonal{k^2}{ k\in\halmaz{-1,0,1,2}}\text{,}\)
(c) \(\halmazvonal{u-v}{u\in\halmaz{3,4,5}, v\in\halmaz{1,2}}\text{.}\)

5.

A halmazépítő jelölést használva adjuk meg az alábbi halmazokat!
(a) \(\halmaz{2,4,6,8,10}\text{,}\)
(b) \(\halmaz{1,4,9,16,25}\text{,}\)
(c) \(\halmaz{1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\ldots, \frac{1}{2^k}, \ldots}\text{,}\)
(d) Az 1 és 2 közötti racionális számok halmaza.

6.

Adjuk meg a következő halmazokhoz tartozó Venn-diagramokat!
(a) \((A\cap B)\cup C\text{,}\)
(b) \((A\setminus B)\cup(A\setminus C)\text{,}\)
(c) \((A\cup B)\cap C\text{,}\)
(d) \((A\cap B)\cup(B\cap C)\cup(A\cap C)\text{,}\)
(e) \(\left((A\cap B)\setminus C\right)\cup \left((A\cap C)\setminus B\right)\cup \left((B\cap C)\setminus A\right)\text{,}\)
(f) \((A\setminus B)\cup(B\setminus C)\cup(C\setminus A)\text{.}\)

7.

Adjunk meg olyan \(A,B\) és \(C\) halmazokat, amelyekre igazak az alábbi számossági feltételek:
\begin{equation*} |A\cap B\cap C|=2\text{,} \end{equation*}
\begin{equation*} |A\cap B|=|A\cap C|=|B\cap C|=2\text{,} \end{equation*}
\begin{equation*} |A|=|B|=|C|=4\text{.} \end{equation*}

8.

Adjunk meg olyan \(A,B\) és \(C\) halmazokat, amelyekre igazak az alábbi számossági feltételek:
\begin{equation*} |A\cap B\cap C|=2\text{,} \end{equation*}
\begin{equation*} |A\cap B|=2, |A\cap C|=2, |B\cap C|=3\text{,} \end{equation*}
\begin{equation*} |A|=4, |B|=5, |C|=6\text{.} \end{equation*}

9.

Legyen \(A = \{1,2\}\) és \(B = \{3,4,5\}\text{.}\) Határozzuk meg \(A \times B\) és \(A \times A\) halmazokat. Hány elem lesz \(B \times B\)-ben?

10.

Legyen \(X = \{n \in \N \st 10 \le n \lt 20\}\text{.}\) Keressünk példákat olyan halmazokra, amelyek a következő tulajdonságokkal rendelkeznek, és nagyon röviden magyarázzuk el, miért működnek a példák.
  1. Egy \(A \subseteq \N\) halmaz, amelyre \(|A| = 10\) és \(X \setminus A = \{10, 12, 14\}\text{.}\)
  2. Egy \(B \in \pow(X)\) halmaz \(|B| = 5\) tulajdonsággal.
  3. Egy \(C \subseteq \pow(X),\) amire \(|C| = 5\text{.}\)
  4. Egy \(D \subseteq X \times X\) halmaz, amelyre \(|D| = 5\)
  5. Egy \(E \subseteq X\) úgy, hogy \(|E| \in E\text{.}\)

11.

Határozd meg az alábbi halmazok számosságát.
  1. \(A = \{3,4,\ldots, 15\}\text{.}\)
  2. \(B = \{n \in \N \st 2 \lt n \le 200\}\text{.}\)
  3. \(C = \{n \le 100 \st n \in \N \wedge \exists m \in \N (n = 2m+1)\}\text{.}\)

12.

Bármely \(A\) és \(B\) halmaz esetén, definiáljuk \(AB = \{ab \st a\in A \wedge b \in B\}\text{.}\) Ha \(A = \{1,2\}\) és \(B = \{2,3,4\}\text{,}\) mivel egyenlő \(|AB|\text{?}\) Mivel egyenlő \(|A \times B|\text{?}\)
El.TopKöv.