Ugrás a fő tartalomjegyzékre
Logo image

MÉK Matematika

Tengely Szabolcs

Pont 10.1 Függvényvizsgálat

A 6. előadás folyamán megismerkedtünk függvények különféle tulajdonságaival: páros-páratlan, periódikus, monoton csökkenő-növekvő, konvex-konkáv, az inflexiós pontok fogalmával, lokális minimum-maximum definíciójával. Néhány egyszerű függvény esetében meg is néztük hogyan lehet ezeket a tulajdonságokat igazolni. Nem mentünk bele a részletekbe, hogy hogyan is lehetne ezt általánosabban vizsgálni, aminek az oka egyszerű: a függvény deriváltjainak vizsgálata nagyban segít megérteni a függvény viselkedését a fent említett tulajdonságokra nézve.

Definíció 10.1.1. Kritikus értékek és kritikus pontok.

Legyen \(f\) definiálva \(c\)-ben. A \(c\) értéket kritikusnak nevezzük ha \(f'(c)=0\) vagy \(f'(c)\) nem definiált.
Ha \(c\) egy kritikus értéke \(f\)-nek, akkor a \((c,f(c))\)-t kritikus pontnak nevezzük.
A józan ész azt mondja nekünk, hogy “a szélsőértékek vagy a végpontokon, vagy valahol a kettő között fordulnak elő.” A végpontoknál könnyen ellenőrizhetjük a szélsőértékeket, de végtelenül sok olyan pont van, ami a kettő között van.

Módszer 10.1.2. Lokális szélsőértékek zárt intervallumokon.

Legyen \(f\) egy folytonos függvény az \([a,b]\) intervallumon. A minimum és maximum értékeket az \(f\) függvény esetében az \([a,b]\) intervallumon a következő lépésekkel határozhatjuk meg:
  1. Meghatározzuk \(f\) értékeit a két végpontban: \(a\)-ban és \(b\)-ben.
  2. Meghatározzuk \(f\) kritikus értékeit az \([a,b]\) intervallumban.
  3. Kiszámítjuk \(f\)-et a kritikus értékeknél.
  4. Az \(f\) maximuma ezen értékek között a legnagyobb, a minimuma pedig ezen értékek között a legkisebb.
Nézzük meg példán keresztül hogyan is működik ez a gyakorlatban.

Példa 10.1.3. Szélsőértékek meghatározása I.

Határozzuk meg az \(f(x) = 2x^3+3x^2-12x\) függvény szélsőértékeit a \([0,3]\) intervallumon!
Megoldás.
Követjük a fenti módszer lépéseit. Kiszámítjuk \(f\) értékeit a végpontokban:
\begin{align*} f(0)\amp=0\amp f(3)\amp=45\text{.} \end{align*}
Meghatározzuk \(f\) kritikus értékeit a \([0,3]\) intervallumon. Kapjuk, hogy \(f'(x) = 6x^2+6x-12 = 6(x+2)(x-1)\text{;}\) azaz \(f\) kritikus értékei: \(x=-2\) és \(x=1\text{.}\) Az \(x=-2\) nincs a \([0,3]\) intervallumban, így ettől eltekintünk. Az \(f\) másik kritikus értéke már az intervallon belül helyezkedik el és itt: \(f(1) = -7\text{.}\)
A táblázat tartalmazza \(f\) kiértékelését a “fontos” \(x\) értékek esetében a \([0,3]\) intervallumon. A maximum és minimum \(f\) esetében adódik, mégpedig: a maximum érték \(45\) a minimum pedig \(-7\text{.}\)

Példa 10.1.4. Szélsőértékek meghatározása II.

Határozzuk meg az \(f\) függvény szélsőértékeit a \([-4,2]\) intervallumon, ahol
\begin{equation*} f(x) = \begin{cases}(x-1)^2 \amp x\leq 0 \\ x+1 \amp x \gt 0\end{cases}\text{.} \end{equation*}
Megoldás.
Először is jegyezzük meg, hogy \(f\) folytonos a \([-4,2]\) intervallumon (ellenőrizhető, hogy \(\lim\limits_{x\to 0}f(x) =f(0)\)).
Az \(f\) végpontjaiban tekintjük először a függvényt:
\begin{align*} f(-4)\amp=25\amp f(2)\amp=3\text{.} \end{align*}
Jöhetnek \(f\) kritkus értékei. Az \(f'\) ebben az esetben:
\begin{equation*} f'(x) =\begin{cases}2(x-1) \amp x \lt 0 \\ 1 \amp x \gt 0\end{cases}\text{.} \end{equation*}
Kiemeljük, hogy \(f\) az egész \([-4,2]\) intervallumon definiált, \(f'\) viszont nem, hiszen \(f\) deriváltja nem létezik \(x=0\)-ban. (Balról a derivált \(-2\)-höz tart; jobbról pedig \(1\)-hez.) Így az \(f\)-nek az \(x=0\) is kritikus értéke definíció szerint.
Tekintsük most az \(f'(x) = 0\) egyenletet. Amikor \(x \gt 0\text{,}\) \(f'(x)\) soha nem 0. Amikor \(x\lt 0\text{,}\) \(f'(x)\) szintén nem lehet 0.
A következő három fontos helyen kell megvizsgálnunk a függvényt: \(x= -4, 2\) és \(0\text{.}\) Kiszámítjuk \(f\)-et ezeken a helyeken és kapjuk, hogy az értékek az adott sorrendben: \(25\text{,}\) \(3\) és \(1\text{.}\)
A minimum \(f\) esetében az intervallumon 1, a maximuma \(f\)-nek pedig \(25\text{.}\)

Példa 10.1.5. Szélsőértékek meghatározása III.

Határozzuk meg az \(f(x) = \cos\mathopen{}\left(x^2\right)\mathclose{}\) szélsőértékeit a \([-2,2]\) intervallumon!
Megoldás.
Ismét \(f\) végpontjaiban kezdjük a számolást: \(f(-2) = f(2) = \cos(4) \approx -0.6536\text{.}\) Jöhetnek az \(f\) függvény kritikus értékei.
A deriváltnál most alkalmaznunk kell a láncszabályt: \(f'(x) = -2x\sin\mathopen{}\left(x^2\right)\mathclose{}\text{.}\) Tekintsük az \(f'(x) = 0\) egyenletet és oldjuk meg \(x\)-re.
Adódik, hogy \(f'(x) = 0\) amikor \(x = 0\) vagy, ha \(\sin\mathopen{}\left(x^2\right)\mathclose{}=0\text{.}\) A \(\sin(t) = 0\) megoldásai a függvény periódikussága miatt: \(t = \ldots -2\pi, -\pi, 0, \pi, \ldots\) Azaz \(\sin\mathopen{}\left(x^2\right)\mathclose{} = 0\) amikor \(x^2 = 0, \pi, 2\pi, \ldots\) (\(x^2\geq 0\) így a \(-\pi\text{,}\) stb. értékeket nem tekintjük). Összegezve: \(\sin\mathopen{}\left(x^2\right)\mathclose{}=0\) amikor \(x= 0, \pm \sqrt{\pi}, \pm\sqrt{2\pi}, \ldots\text{.}\) Ezen értékekből a \([-2,2]\) intervallumban található a \(0\) és \(\pm\sqrt{\pi}\text{,}\) ahol \(\sqrt{\pi} \approx 1.77\text{.}\)
Újra egy táblázatban adjuk meg a fontos értékeket. Most öt helyen szükséges tekintenünk a függvényt: \(x= 0, \pm 2, \pm\sqrt{\pi}\text{.}\)
Az \(f\) maximuma a \([-2,2]\) intervallumon \(1\text{;}\) a minimuma pedig \(-1\text{.}\)
Függvényvizsgálat során sokszor nyerhetünk hasznos információkat a következő középérték tételek segítségével.
A monotonitás esetében nézzük meg mit tudunk mondani a deriváltak felhasználásával.
Egy szigorúan monoton növekvő \(f\) függvény esetében, ha \(b\gt a,\) akkor \(f(b)\gt f(a),\) azaz ilyen esetekben \(b-a\gt 0,\quad f(b)-f(a)\gt 0.\) A Lagrange középérték-tétel miatt létezik olyan \(c\) amire \(a \lt c \lt b\) és
\begin{equation*} f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\gt 0\text{.} \end{equation*}
Ami azt mutatja, hogy ahol a függvény szigorú monoton növekvő ott a derivált pozitív. Az előző tételt hogyan is tudjuk alkalmazni a függvényvizsgálat során? Foglaljuk össze milyen stratégiát tudunk követni a deriváltak felhasználásával.

Módszer 10.1.9. Az \(f\) monotonitása adott intervallumokban.

Legyen \(f\) egy folytonos függvény az \(I\) intervallumon. Vizsgáljuk meg hogyan határozzuk meg az \(f\) monotonitását:
  1. ha még nem ismert határozzuk meg az \(f\) értelmezési tartományát: \(D\)-t.
  2. Határozzuk meg \(f\) kritikus értékeit. Azaz az olyan \(c\) értékeket, amelyekre \(f'(c) = 0\) vagy \(f'\) nem definiált.
  3. A kritikus értékek felhasználásával a \(D\)-t részintervallumokra bontjuk.
  4. Választunk tetszőleges \(p\) értékeket minden részintervallumból, majd meghatározzuk \(f'(p)\) előjelét.
    1. Ha \(f'(p) \gt 0\text{,}\) akkor \(f\) monoton növekvő a részintervallumon.
    2. Ha \(f'(p)\lt 0\text{,}\) akkor \(f\) monoton csökkenő a részintervallumon.

Példa 10.1.10. Monotonitás vizsgálata.

Legyen \(f(x) = x^3+x^2-x+1\text{.}\) Határozzuk meg melyik intervallumokon monoton csökkenő/növekvő az \(f\) függvény!
Megoldás.
Az \(f\) értelmezési tartománya nincs megadva így a legbővebb halmazt tekintjük, azaz ebben az esetben ez \(\mathbb{R}\) vagy \((-\infty,\infty)\text{.}\) Számítsuk ki \(f\) kritikus értékeit. Kapjuk, hogy \(f'(x) = 3x^2+2x-1 = (3x-1)(x+1)\text{,}\) így \(f'(x) = 0\) akkor teljesül, ha \(x=-1\) vagy \(x=1/3\text{.}\) Továbbá \(f'\) mindig definiált.
Az értelmezési tartományt felosztjuk három részre a két kritikus érték alapján: \((-\infty,-1)\text{,}\) \((-1,1/3)\) és \((1/3,\infty)\text{.}\)
Választunk a részintervallumokból \(p\) értékeket és meghatározzuk \(f'(p)\) előjelét. Csak az előjel érdekel minket, így a választást úgy célszerű megtenni, hogy a számolás lehetőleg a legegyszerűbb legyen.
1. részintervallum: \((-\infty,-1)\)
Legyen (tetszőleges választás az intervallumból) \(p=-2\text{.}\) Ekkor \(f'(-2)\text{:}\) \(f'(-2) = 3(-2)^2+2(-2)-1=7\gt 0\text{.}\) Így az \(f\) monoton növekvő a \((-\infty,-1)\) részintervallumon.
2. részintervallum: \((-1,1/3)\)
Legyen most \(p=0\text{,}\) ez benne van az intervallumban és könnyű vele számolni. \(f'(0) = -1\lt 0\text{.}\) Ekkor \(f\) monoton csökkenő a \((-1,1/3)\) részintervallumon.
3. részintervallum: \((1/3,\infty)\)
Legyen például \(p=1\text{,}\) ekkor \(f'(p) =3(1)^2+2\cdot 1-1 \gt 0\text{.}\) Így az \(f\) monoton növekvő az \((1/3,\infty)\) részintervallumon.
A monoton növekedés és a monoton csökkenés új értelmezése hatékony módszert ad annak meghatározására, hogy egy kritikus pontból maximum, minimum származik vagy éppen egyiknek sem. Képzeljünk el egy függvényt, amely az \(x=c\) kritikus pontig monoton növekszik, majd ezután monoton csökken. Egy gyors vázlat segít megerősíteni, hogy \(f(c)\) lokális maximum. Hasonló állítás tehető lokális minimumokra is.
Folytassuk a “szép” függvények vizsgálatát, azaz továbbra is folytonos és differenciálható függvények tulajdonságaira koncentrálunk. Az előző részben bemutattuk, hogyan lehet egy függvény első deriváltját, \(f'\)-t, felhasználni, hogy \(f\)-ről fontos információkat kapjunk. Most ugyanezt a technikát alkalmazzuk magára \(f'\)-re, és megtudjuk, hogy ez mit árul el nekünk \(f\)-ről.
Az \(f'\) tanulmányozásának kulcsa, hogy ennek a függvénynek is tekintjük a deriváltját, nevezetesen \(f''\text{,}\) amely \(f\) második deriváltja. Ha \(f''\gt 0\text{,}\) akkor \(f'\) monoton növekvő. Amikor \(f''\lt 0\text{,}\) \(f' \) monoton csökkenő. Továbbá \(f'\)-nek lokális maximuma/minimuma lehet, amikor \(f''=0\) vagy nem definiált. Nézzük hogyan kaphatunk információt a függvény konvexitásáról a második derivált segítségével.
Amikor korábban bevezettük függvények tulajdonságait beszéltünk az úgynevezett inflexiós pontokról is, ahol a függvény konvexitása megváltozik. A második deriváltak segítségével ezekről is pontosabb képet kapunk. Ha \(f\) konvexitása megváltozik egy \((c,f(c))\) pontban, akkor \(f' \) növekvőből csökkenőre (vagy csökkenőből növekvőre) vált \(x=c\) esetén. Ez azt jelenti, hogy \(f''\) előjele megváltozik pozitívról negatívra (vagy negatívról pozitívra) az \(x=c\) pontban. Előjelváltás történhet, amikor \(f''=0\) vagy \(f''\) nem definiált. Ez a következő tételhez vezet.

Példa 10.1.14. Konvexitás és inflexiós pontok.

Legyen \(f(x)=x^3-3x+1\text{.}\) Határozzuk meg \(f\) inflexiós pontjait és döntsük el mely intervallumokon konvex/konkáv.
Megoldás.
Ebben az esetben a deriváltak: \(f'(x)=3x^2-3\) és \(f''(x)=6x\text{.}\) Azaz \(f''\) mindig definiált és pontosan akkor 0, ha \(x=0\text{.}\) Az egyetlen inflexiós pontja a görbének: \((0,f(0))=(0,1)\text{.}\)
Az inflexiós pont két részre osztja a számegyenest: \((-\infty,0)\) és \((0,\infty)\text{.}\) Hasonló módon járunk el, mint a monotonitás esetében is, adott intervallumból igyekszünk kiválasztani olyan elemet, amelyre a függvény viszonylag egyszerűen számolható. Itt azt kapjuk, hogy ha \(c\lt 0\text{,}\) akkor \(f''(c)\lt 0\) azaz \(f\) konkáv a \((-\infty,0)\) intervallumon. Egy \(c\gt 0\) választás mellett \(f''(c)\gt 0\) adódik, így \(f\) konvex a \((0,\infty)\) intervallumon.
A függvény első deriváltja egy módszert adott arra, hogy megállapítsuk, vajon egy kritikus érték egy relatív maximumot, minimumot, vagy egyiket sem szolgáltatja a függvénynek. A második derivált egy másik módot kínál arra, hogy teszteljük, vajon egy kritikus pont lokális maximum vagy minimum. A következő tétel megválaszolja, ami intuitív: ha egy kritikus érték olyan területen fordul elő, ahol az \(f\) függvény konvex, akkor annak a kritikus értéknek egy lokális minimumot kell adnia \(f\)-nek.

Példa 10.1.16. Lokális szélsőérték és derivált.

Legyen \(f(x)=100/x + x\text{.}\) Határozzuk meg \(f\) lokális szélsőértékeit!
Megoldás.
Kiszámítjuk a függvény deriváltjait: \(f'(x)=-100/x^2+1\) és \(f''(x) = 200/x^3\text{.}\) Meghatározzuk az \(f'(x)=0\) megoldásait, hogy megkapjuk a kritikus értékeket (megjegyezzük, hogy \(f'\) nem definiált \(x=0\)-ban, de \(f\) sem, így ez nem lesz kritikus érték.) Kapjuk, hogy \(x=\pm 10\) a kritikus értékei a függvénynek. Kiértékeljük a második deriváltat. Adódik, hogy \(f''(10)=0.1\gt 0\text{,}\) azaz lokális minimum van \(x=10\)-ben. A másik esetben: \(f''(-10)=-0.1\lt 0\text{,}\) ami lokális maximumot ad \(x=-10\)-ben.

Módszer 10.1.17. Függvény grafikonjának vázolása.

Egy pontos vázlat elkészítéséhez egy adott \(f\) függvényhez a következő lépéseket követhetjük.
  1. Határozzuk meg \(f\) értelmezési tartományát. Általában feltételezzük, hogy a tartomány az egész valós számok halmaza, majd keresünk megkötéseket, például ahol a nevező \(0\) vagy ahol negatív számok jelennek meg a gyökjel alatt.
  2. Meghatározzuk az \(f\) kritikus értékeit.
  3. Meghatározzuk az \(f\) lehetséges inflexiós pontjait.
  4. Megkeressük \(f\) függőleges aszimptotáinak helyeit (ha léteznek ilyenek).
  5. Meghatározzuk a \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\) és \(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)\) határértékeket, hogy megkapjuk a függvény viselkedését a végtelenben.
  6. Létrehozunk egy számegyenest, amely tartalmazza az összes kritikus pontot, lehetséges inflexiós pontot és a függőleges aszimptóták helyeit. Minden létrehozott intervallumra meghatározzuk, hogy \(f\) monoton növekvő vagy monoton csökkenő, valamint konvex vagy konkáv.
  7. Kiértékeljük az \(f\)-et minden kritikus pontban és lehetséges inflexiós pontban. Ábrázoljuk ezeket a pontokat egy koordináta-rendszerben. Összekötjük ezeket a pontokat a megfelelő konvexitást figyelembe véve. Felvázoljuk az aszimptotákat, valamint az \(x\) és \(y\) metszéspontokat, ahol ez lehetséges.

Példa 10.1.18. Görbe felvázolása.

Ebben a példában az \(f(x) = 3x^3-10x^2+7x+5\) függvény grafikonját vázoljuk fel a fent megadott módszert követve.
Megoldás.
A módszerben megadott pontokat követjük.
  1. Az \(f\) értelmezési tartománya a valós számok halmaza, nincsenek problémás helyek a függvény esetében.
  2. Az \(f\) kritikus értékeihez deriválunk. Az első derivált: \(f'(x) = 9x^2-20x+7\text{.}\) Ez egy másodfokú egyenlet, \(f'\) gyökei:
    \begin{align*} x \amp= \frac{20\pm \sqrt{(-20)^2-4(9)(7)}}{2(9)}\\ \amp = \frac19\left(10\pm\sqrt{37}\right)\\ x \amp \approx 0.435, 1.787\text{.} \end{align*}
  3. Lehetséges inflexiós ponjai az \(f\)-nek: a második derivált \(f''(x) = 18x-20\text{.}\) Ekkor
    \begin{align*} f''(x) \amp = 0\\ 18x-20 \amp =0\\ x \amp = 10/9\\ \amp \approx 1.111\text{.} \end{align*}
  4. Nincsenek függőleges aszimptoták.
  5. A végtelenben vett viselkedést határértékek segítségével kapjuk meg, ahogy \(x\) megközelíti \(\pm \infty \)-t.
    \begin{equation*} \lim_{x\to -\infty} f(x) = -\infty \qquad \lim_{x\to \infty}f(x) = \infty\text{.} \end{equation*}
    Azaz nincsenek vízszintes aszimptotáink.
  6. Az \(x=(10\pm\sqrt{37})/9\) és \(x=10/9\) értékeket elhelyezzük egy számegyenesen. Minden részintervallumot monoton növekvőnek vagy monoton csökkenőnek, valamint konvexnek vagy konkávnak jelölünk a korábban alkalmazott technikák segítségével.
  7. Meghatározzuk \(f\) értékét minden kritikus helyen és lehetséges inflexiós pontnál.
    \begin{align*} f(0.435)\amp\approx6.400\amp f(1.111)\amp\approx4.547\amp f(1.787)\amp\approx 2.695 \end{align*}
    Összekötjük a kapott pontokat figyelve az intervallumokban teljesülő monotonitási és konvexitási tulajdonságaira a függvénynek.
El.TopKöv.