Pont 3.3 Mátrixok
Miután néhányszor elvégeztük a Gauss eliminációt, észrevehettük, hogy a legtöbb időt az együtthatókra összpontosítottuk, és egyszerűen a változókat rögzített helyeken leírtuk. E megfigyelés alapján bevezetünk egy rövidített leírást a lineáris rendszerekhez.
Amikor egy lineáris rendszert leírunk, mindig ugyanabban a sorrendben írjuk a változókat minden egyenletben. Ezután egy
bővített mátrixot alkotunk azáltal, hogy egyszerűen elfelejtjük a változókat, és a numerikus adatokat egy téglalap alakú tömbben rögzítjük. Például az alábbi egyenletrendszernek a következő bővített mátrixa van:
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{4}
-x \amp {}-{} \amp 2y \amp {}+{} \amp 2z \amp {}={} \amp -1 \\
2x \amp {}+{} \amp 4y \amp {}-{} \amp z \amp {}={} \amp 5 \\
x \amp {}+{} \amp 2y \amp \amp \amp {}={} \amp 3 \\
\end{alignedat}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\left[
\begin{array}{rrr|r}
-1 \amp -2 \amp 2 \amp -1 \\
2 \amp 4 \amp -1 \amp 5 \\
1 \amp 2 \amp 0 \amp 3 \\
\end{array}
\right].
\end{equation*}
A függőleges vonal emlékeztet minket arra, hol jelennek meg az egyenlőségjelek az egyenletekben. A mátrix bal oldalán található elemek az egyenletek együtthatóinak felelnek meg. Néha úgy döntünk, hogy csak a rendszer együtthatóira összpontosítunk, ilyenkor az együttható mátrixot írjuk le.
\begin{equation*}
\left[
\begin{array}{rrr}
-1 \amp -2 \amp 2 \\
2 \amp 4 \amp -1 \\
1 \amp 2 \amp 0 \\
\end{array}
\right].
\end{equation*}
A három művelet, amelyet az egyenletrendszerekre bevezettünk, természetesen átültethető a mátrixokra. Például a helyettesítési művelet, amely a első egyenletet 2-vel megszorozza és hozzáadja a másodikhoz, úgy végezhető el, hogy a kiterjesztett mátrix első sorát 2-vel megszorozzuk, és hozzáadjuk a második sorhoz:
\begin{equation*}
\left[
\begin{array}{rrr|r}
-1 \amp -2 \amp 2 \amp -1 \\
2 \amp 4 \amp -1 \amp 5 \\
1 \amp 2 \amp 0 \amp 3 \\
\end{array}
\right]
\sim
\left[
\begin{array}{rrr|r}
-1 \amp -2 \amp 2 \amp -1 \\
0 \amp 0 \amp 3 \amp 3 \\
1 \amp 2 \amp 0 \amp 3 \\
\end{array}
\right].
\end{equation*}
A \(\sim\) szimbólum a mátrixok között azt jelzi, hogy a két mátrixot felszorzási, felcserélési és helyettesítési műveletek sorozata köti össze. Mivel ezek a műveletek a mátrixok soraira hatnak, azt mondjuk, hogy a mátrixok sor ekvivalensek. Észrevehetjük, hogy a két sor ekvivalens kiterjesztett mátrixhoz tartozó lineáris rendszerek ugyanazzal a megoldó térrel rendelkeznek.
Projekt 3.3.1. Kiterjesztett mátrixok és megoldó terek.
Írjuk le a kiterjesztett mátrixát:
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{4}
x \amp {}+{} \amp 2y \amp {}-{} \amp z \amp {}={} \amp 1 \\
3x \amp {}+{} \amp 2y \amp {}+{} \amp 2z \amp {}={} \amp 7 \\
-x \amp \amp \amp {}+{} \amp 4z \amp {}={} \amp -3 \\
\end{alignedat}
\end{equation*}
és alkalmazzuk a Gauss eliminációt a megoldások meghatározására, a lépéseket írjuk ki részletesen!
Tegyük fel, hogy van egy lineáris egyenletrendszerünk \(x\)-ben és \(y\)-ban, amihez az alábbi kiterjesztett mátrix tartozik:
\begin{equation*}
\left[
\begin{array}{rr|r}
1 \amp 0 \amp 3 \\
0 \amp 1 \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp 0 \\
\end{array}
\right].
\end{equation*}
Írjuk le az eredeti egyenletrendszert és határozzuk meg a megoldásokat!
Tegyük fel, hogy van egy lineáris egyenletrendszerünk \(x\)-ben és \(y\)-ban, amihez az alábbi kiterjesztett mátrix tartozik:
\begin{equation*}
\left[
\begin{array}{rr|r}
1 \amp 0 \amp 3 \\
0 \amp 1 \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp 1 \\
\end{array}
\right].
\end{equation*}
Írjuk le az eredeti egyenletrendszert és határozzuk meg a megoldásokat!
Alpont 3.3.1 Redukált lépcsős alak
Van mátrixoknak egy speciális osztálya, amelynek formája különösen megkönnyíti a megfelelő lineáris rendszer megoldó terének leírását. Ahogy a mátrixosztály tulajdonságait ismertetjük, hasznos lehet egy példa:
\begin{equation*}
\left[
\begin{array}{rrrrrr}
1 \amp * \amp 0 \amp * \amp 0 \amp * \\
0 \amp 0 \amp 1 \amp * \amp 0 \amp * \\
0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \amp * \\
0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\
\end{array}
\right].
\end{equation*}
Definíció 3.3.1.
Azt mondjuk, hogy egy mátrix redukált lépcsős alakú ha a következő tulajdonságok teljesülnek:
Ha egy adott sorban csupa 0 szerepel ez igaz az alatta lévő sorokra is.
Ha balról jobbra haladunk egy sorban, az első nem nulla elem, amivel találkozunk az 1. Ezt főelemnek hívjuk.
Egy adott sor főeleme jobbra helyezkedik el a fölötte lévő sorok főelemeihez képest.
A főelem az egyetlen nem 0 elem az adott oszlopban.
Szándékosan homályosan fogalmaztunk azzal kapcsolatban, hogy az általunk vizsgált mátrix egy lineáris rendszerhez tartozó kibővített mátrix-e vagy egy együttható mátrix, mivel a jövőben mindkét lehetőséget figyelembe fogjuk venni.
Projekt 3.3.2. Redukált lépcsős mátrixok meghatározása.
Tekintsük az alábbi kiterjesztett mátrixokat. Határozzuk meg, hogy a mátrix redukált lépcsős alakban van-e. Ha nem, végezzünk el egy sor felszorzási, felcserélési és helyettesítési műveletet, hogy egy sor ekvivalens mátrixot kapjunk, amely redukált lépcsős alakban van. Ezután használjuk a redukált lépcsős mátrixot a megoldási tér leírására.
\(\displaystyle \left[
\begin{array}{rrr|r}
2 \amp 0 \amp 4 \amp -8 \\
0 \amp 1 \amp 3 \amp 2 \\
\end{array}
\right].\)
\(\displaystyle \left[
\begin{array}{rrr|r}
1 \amp 0 \amp 0 \amp -1 \\
0 \amp 1 \amp 0 \amp 3 \\
0 \amp 0 \amp 1 \amp 1 \\
\end{array}
\right].\)
\(\displaystyle \left[
\begin{array}{rrr|r}
1 \amp 0 \amp 4 \amp 2 \\
0 \amp 1 \amp 3 \amp 2 \\
0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \\
\end{array}
\right].\)
\(\displaystyle \left[
\begin{array}{rrr|r}
0 \amp 1 \amp 3 \amp 2 \\
0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\
1 \amp 0 \amp 4 \amp 2 \\
\end{array}
\right].\)
\(\displaystyle \left[
\begin{array}{rrr|r}
1 \amp 2 \amp -1 \amp 2 \\
0 \amp 1 \amp -2 \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp 1 \amp 1 \\
\end{array}
\right].\)
Alpont 3.3.2 Összefoglaló
Láttunk több fontos fogalmat ebben a fejezetben.
A megoldási teret egy lineáris rendszerhez úgy írhatjuk le, hogy átalakítjuk egy új lineáris rendszerre, amelynek ugyanaz a megoldási tere, egy sor felszorzási, csere és helyettesítési művelet révén.
Egy lineáris rendszert egy kiterjesztett mátrix segítségével ábrázolhatunk. A felszorzási, csere és helyettesítési műveletek segítségével a kiterjesztett mátrix pontosan egy redukált lépcsős mátrixszal ekvivalens. Ezen redukált lépcsős mátrix meghatározásának a folyamatát Gauss eliminációnak nevezzük.
A redukált lépcsős mátrix lehetővé teszi számunkra, hogy könnyen leírjuk egy lineáris rendszer megoldási terét.
