Pont 3.4 Inverz mátrix
Tekintsük az egyszerű \(3x = 5\) egyenletet. Osztva mindkét oldalt 3-mal kapjuk is a megoldást. Ehelyett fogalmazzuk át ezt úgy, hogy \(3^{-1} = \frac
13\) azaz 3 multiplikatív inverzével szorzunk.
Most, hogy az \(A\xvec = \bvec\) formájú egyenletek megoldása érdekel minket, megpróbálhatunk egy hasonló megközelítést találni. Létezik-e olyan \(A^{-1}\) mátrix, amely az \(A\) multiplikatív inverzének szerepét játssza? Természetesen a 0 valós szám nem rendelkezik multiplikatív inverzzel, így nem valószínű, hogy minden mátrixnak létezik multiplikatív inverze. Látni fogjuk azonban, hogy soknak van.
Definíció 3.4.1.
Egy \(n\times n\) méretű \(A\) mátrixot invertálhatónak nevezzük, ha létezik olyan \(B\) mátrix, amire \(AB = I_n\text{,}\) ahol \(I_n\) az \(n\times n\) egységmátrix. Ekkor a \(B\) mátrixot az \(A\) mátrix inverzének nevezzük, jelölése: \(A^{-1}\text{.}\)
Vegyük észre, hogy az invertálhatóságot csak olyan mátrixokra definiáljuk, amelyeknek azonos számú sora és oszlopa van, ebben az esetben azt mondjuk, hogy a mátrix négyzet alakú.
Projekt 3.4.1.
Egy adott \(A\) mátrix inverzével fogjuk folytatni.
Tegyük fel, hogy \(A = \begin{bmatrix}
3 \amp -2 \\
1 \amp -1 \\
\end{bmatrix}
\text{.}\) A \(B\) inverz mátrix meghatározásához az oszlopvektoros ábrázolást használjuk: \(B = \begin{bmatrix}\bvec_1 \amp \bvec_2
\end{bmatrix}\) ekkor az alábbiaknak kell teljesülnie:
\begin{equation*}
\begin{aligned}
AB \amp = I \\
\begin{bmatrix}
A\bvec_1 \amp A\bvec_2
\end{bmatrix}
\amp =
\begin{bmatrix}
1 \amp 0 \\
0 \amp 1 \\
\end{bmatrix}.
\end{aligned}
\end{equation*}
Más szavakkal, a \(B\) oszlopvektorait megkaphatjuk a következő egyenletrendszerek megoldásával:
\begin{equation*}
A\bvec_1 = \twovec10,~~~
A\bvec_2 = \twovec01.
\end{equation*}
Határozzuk meg a \(\bvec_1\) és \(\bvec_2\) vektorokat. Ezután írjuk fel a \(B\) mátrixot és ellenőrizzük, hogy \(AB=I\text{.}\)
Mi történik, ha az alábbi mátrix inverzét próbáljuk meghatározni \(C = \begin{bmatrix}
-2 \amp 1 \\
4 \amp -2 \\
\end{bmatrix}\text{?}\)
A fenti részben a következő mátrixokkal foglalkoztunk:
\begin{equation*}
A = \begin{bmatrix}
3 \amp -2 \\
1 \amp -1 \\
\end{bmatrix},~~~
C = \begin{bmatrix}
-2 \amp 1 \\
4 \amp -2 \\
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
Határozzuk meg a redukált lépcsős alakjukat és vessük össze az eredményeket az invertálhatóságukkal!
Valójában ez az átfogalmazás mindig működni fog. Tegyük fel, hogy \(A\) egy invertálható \(n\times n\) mátrix, amelynek inverze \(B\text{.}\) Tegyük fel továbbá, hogy \(\bvec\) egy tetszőleges \(n\) dimenziós vektor, és tekintsük az \(A\xvec = \bvec\) egyenletet. Tudjuk, hogy \(x=B\bvec\) az \(x=B\bvec\text{.}\) megoldás, mert \(A(B\bvec) = (AB)\bvec = I\bvec = \bvec.\)
Állítás 3.4.2.
Ha \(A\) egy invertálható mátrix, amelynek inverze \(B\text{,}\) akkor bármely \(A\xvec = \bvec\) egyenlet konzisztens és \(\xvec = B\bvec\) egy megoldás. Más szavakkal, a \(A\xvec = \bvec\) megoldása \(\xvec =
A^{-1}\bvec\text{.}\)
Állítás 3.4.3.
Az \(A\) mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha \(A\) redukált lépcsős alakja az egységmátrix: \(A\sim I\text{.}\) Ezen kívül az \(A\) inverzét úgy találhatjuk meg, hogy az \(A\) mátrixot kibővítjük, az egységmátrixot hozzávéve és meghatározzuk a redukált lépcsős alakot:
\begin{equation*}
\left[
\begin{array}{r|r}
A \amp I \\
\end{array}
\right]
\sim
\left[
\begin{array}{r|r}
I \amp A^{-1} \\
\end{array}
\right].
\end{equation*}
Fontos megjegyezni, hogy két mátrix szorzata attól függ, hogy milyen sorrendben szorozzuk össze őket. Vagyis, ha \(C\) és \(D\) mátrixok, akkor néha előfordul, hogy \(CD \neq DC\text{.}\) Azonban valami szerencsés dolog történik amikor invertálható mátrixokat tekintünk. Kiderül, hogy ha \(A\) egy \(n \times n\) mátrix, és hogy \(AB=I\text{,}\) akkor az is igaz, hogy \(BA=I\text{.}\)
Állítás 3.4.4.
Ha \(A\) egy \(n\times n\) invertálható mátrix és \(B\) az inverze, akkor \(BA=I\text{,}\) ami azt is mutatja, hogy \(B\) is invertálható és az inverze az \(A\) mátrix. Azaz,
\begin{equation*}
(A^{-1})^{-1} = A.
\end{equation*}
A következő állítás összefoglalja mindazt, amit eddig tanultunk az invertálható mátrixokról.
Állítás 3.4.5. Invertálható mátrixok tulajdonságai.
Egy \(n\times n\) mátrix \(A\) pontosan akkor invertálható, ha \(A\sim I\text{.}\)
Ha \(A\) invertálható, akkor az \(A\xvec = \bvec\) egyenlet megoldása \(\xvec =
A^{-1}\bvec\text{.}\)
Meg tudjuk határozni \(A^{-1}\)-et az \(\left[\begin{array}{r|r} A \amp I
\end{array}\right]\) redukált lépcsős alakját felhasználva, pontosabban,
\begin{equation*}
\left[\begin{array}{r|r} A \amp I \end{array}\right]
\sim
\left[\begin{array}{r|r} I \amp A^{-1} \end{array}\right]\text{.}
\end{equation*}
Ha \(A\) és \(B\) invertálható \(n\times
n\) mátrixok, akkor \(AB\) is invertálható: \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\text{.}\)
A \(2\times2\) mátrixok esetében az inverz paraméteresen is megadható:
\begin{equation*}
\left[\begin{array}{rr}
a \amp b \\
c \amp d \\
\end{array}\right]^{-1}
=
\frac{1}{ad-bc}
\left[\begin{array}{rr}
d \amp -b \\
-c \amp a \\
\end{array}\right]\text{,}
\end{equation*}
ami formálisan egyszerűen ellenőrizhető. Ekkor az \(A\) invertálhatóságának feltétele az, hogy \(ad-bc\neq 0\text{.}\) A determinánsok bevezetése után erre vissza fogunk térni.
Feladatok Feladatok
1.
Határozzuk meg a következő homogén lineáris egyenletrendszer megoldásait:
\begin{equation*}
\left\{\begin{array}{rcrcrcrcrcr}
3x_1 \amp + \amp 2x_2 \amp - \amp 8x_3 \amp + \amp 13x_4 \amp = \amp 0,\\
x_1 \amp - \amp 2x_2 \amp - \amp 2x_3 \amp - \amp 3x_4 \amp = \amp 0,\\
2x_1 \amp + \amp 4x_2 \amp - \amp 7x_3 \amp + \amp 8x_4 \amp = \amp 0.
\end{array}\right.
\end{equation*}
2.
Határozzuk meg a következő inhomogén lineáris egyenletrendszer megoldásait:
\begin{equation*}
\left\{\begin{array}{rcrcrcrcrcr}
3x_1 \amp + \amp 6x_2 \amp - \amp 8x_3 \amp + \amp 13x_4 \amp = \amp 3,\\
x_1 \amp + \amp 2x_2 \amp - \amp 2x_3 \amp + \amp 3x_4 \amp = \amp 4,\\
2x_1 \amp + \amp 4x_2 \amp - \amp 5x_3 \amp + \amp 8x_4 \amp = \amp 5.
\end{array}\right.
\end{equation*}
3.
Adjunk meg olyan \(a,b\) értékeket, amelyekre az alábbi lineáris egyenletrendszernek (i) nincs megoldása, (ii) pontosan egy megoldása van, (iii) végtelen sok megoldása létezik:
\begin{equation*}
\left\{\begin{array}{rcrcrcrcrcr}
x_1 \amp + \amp 2x_2 \amp = \amp 2,\\
2x_1 \amp + \amp ax_2 \amp = \amp b,\\
\end{array}\right.
\end{equation*}
4.
Írjunk fel lineáris egyenletrendszert a következő kémia reakcióhoz és adjunk meg egy megoldást!
\begin{equation*}
a\mathrm{NH_3} + b\mathrm{CuO} \rightarrow c\mathrm{N_2}+ d\mathrm{Cu}+e\mathrm{H_2O}.
\end{equation*}
5.
Tudjuk, hogy az \(y=ax+b\) egyenes átmegy a \((-5,2)\) és \((2,0)\) pontokon. Adjunk meg lineáris egyenletrendszert a problémához és határozzuk meg \(a,b\) értékét!
6.
Tudjuk, hogy az \(y=ax^2+bx+c\) parabola átmegy a \((-2,5),(2,0)\) és \((4,0)\) pontokon. Adjunk meg lineáris egyenletrendszert a problémához és határozzuk meg \(a,b,c\) értékét!
7.
Számoljuk ki az \(AB\) és \(AC\) mátrixokat, ahol
\begin{align*}
A \amp = \left[\begin{array}{cc}
1 \amp 2 \\
-1 \amp -2
\end{array}\right],
\amp
B \amp = \left[\begin{array}{cc}
3 \amp -1 \\
0 \amp 2
\end{array}\right],
\amp
C \amp = \left[\begin{array}{cc} 1 \amp 3\\4 \amp 1 \end{array}\right].
\end{align*}
8.
Számoljuk ki az \(AB\) mátrixot, ahol
\begin{align*}
A \amp = \left[\begin{array}{cc}
1 \amp x \\
x^2 \amp x^3
\end{array}\right],
\amp
B \amp = \left[\begin{array}{cc}
x \amp -x \\
2x^2 \amp -1
\end{array}\right].
\end{align*}
9.
Határozzuk meg a következő mátrixok inverzeit:
\begin{equation*}
A = \left[\begin{array}{rr} 3 \amp 1 \\ 1 \amp 2 \end{array}\right],
\end{equation*}
\begin{equation*}
B = \left[\begin{array}{rrr}
0 \amp 1 \amp 2 \\
1 \amp 3 \amp 0 \\
-2 \amp 5 \amp 3
\end{array}\right].
\end{equation*}
