Függvényekkel már korábbi tanulmányok során is találkozhattunk. Például, ha tekintjük egy \(a\) oldalú négyzet területét azt az \(a^2\) formula/képlet segítségével kapjuk meg. Erre fogjuk használni a függvényeknél bevett jelölést: \(T\) a négyzet területe, ami az \(a\) érték megadása után számolható ki, azt írjuk, hogy \(T(a)=a^2\text{.}\) Például, ha \(a=3\text{,}\) akkor a 3 oldalhosszúságú négyzet területe \(T(3)=3^2=9\text{.}\)
Definíció5.1.1.
A reláció rendezett párok halmaza. A rendezett párok első összetevőinek halmazát értelmezési tartománynak, a rendezett párok második összetevőinek halmazát pedig értékkészletnek nevezzük. A függvény olyan reláció, amely az értelmezési tartomány minden egyes értékét az értékkészlet egyetlen értékéhez rendeli. Azaz \(f\subseteq A\times B\) függvény esetén \(A\) az értelmezési tartomány, \(B\) pedig az értékkészlet. Röviden azt is írjuk, hogy \(f:A\rightarrow B\) és \(y=f(x)\text{.}\)
Valós függvények esetében használni fogunk jelöléseket különféle intervallumokra, amelyeknek halmazelméleti jelentését nem árt tisztázni. Áttekintjük a korábbi halmazoknál tanult jelölések segítségével mit is jelentenek ezek az intervallumok. A halmazoknál bevezettük a halmazépítő jelölést:
\begin{equation*}
\{x | x \mbox{ rendelkezik valamilyen tulajdonsággal}\}.
\end{equation*}
Ha például azon valós számok halmaza érdekelne minket, amelyek nagyobbak egynél, de kisebbek ötnél, akkor ezt a halmazt jelölhetnénk a halmazépítő jelöléssel, ha azt írnánk, hogy
\begin{equation*}
\{x | 1\lt x \lt 5\}.
\end{equation*}
Nézzük milyen jellegzetes intervallumokkal találkozhatunk a valós függvények esetén:
Legyen \(f(x)\) egy függvény. Az \(f\) függvény gráfikonját azok az \((x, y)\) pontok alkotják, amelyekben \(y = f (x).\) Nem minden görbe egy függvény grafikonja. Ennek az az oka, hogy egy függvény egy adott bemenethez egyetlen számot rendel, mint a kimenetet. Az \(y\)-tengellyel párhuzamos egyenes tehát legfeljebb egy pontban találkozhat egy függvény grafikonjával. Ebből következően, ha az \(y\)-tengellyel párhuzamos egyenes többször is találkozik a görbével, akkor a görbe nem lehet egy függvény grafikonja.
Függvényeket igyekszünk pontosan, képletekkel, formulákkal megadni, néha találkozunk egyéb módokkal is, amikor táblázatok segítségével esetleg grafikusan van a függvény leírva.
\((\text{input},\text{output})\) \((x,\sqrt{x})\)
\((0,0)\)
\((1,1)\)
\(\approx(2,1.41)\)
\(\approx(3,1.73)\)
\((4,2)\)
\(\approx(5,2.24)\)
\(\approx(6,2.45)\)
\(\approx(7,2.65)\)
\(\approx(8,2.83)\)
\((9,3)\)
Ábra5.1.2.
Függvényekből újabb függvényeket tudunk létrehozni a négy alapművelet, az összetett függvény képzéssel és az inverz függvény képzésével. Ismerkedjünk meg most ezekkel a műveletekkel.
Műveletek függvényekkel.
Legyenek \(f,g: D \rightarrow \mathbb{R}\) függvények és \(c\in\mathbb{R}\text{.}\) Ekkor a következő új függvényeket tudjuk definiálni:
\(\displaystyle (cf)(x)=cf(x)\)
\(\displaystyle (f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x)\)
\(\displaystyle (fg)(x)=f(x)g(x)\)
\((f/g)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\) feltéve, hogy \(g(x)\neq 0\)
Legyenek \(f: X \rightarrow Y\) és \(g: Y \rightarrow Z\) függvények. Ekkor a \((g\circ f)(x): X\rightarrow Z\) összetett függvényt az alábbi módon definiáljuk:
Összetett függvények esetében az \(f\) függvény leképez egy \(x\in X\) elemet az \(Y\)-ba, erre az elemre pedig már tudjuk alkalmazni a \(g\) függvényt és kapunk egy \(Z\)-beli elemet, ahogyan a következő ábra is mutatja.
Függvény transzformáció.
Legyen \(f(x)\) egy függvény, akkor
\(y =f(x) + C\)
\(C \gt 0\) felfelé mozgatja
\(C \lt 0\) lefelé mozgatja
\(y =f(x +C)\)
\(C \gt 0\) balra mozgatja
\(C \lt 0\) jobbra mozgatja
\(y =Cf(x)\)
\(C \gt 1\) megnyújtja \(y\) irányban
\(0 \lt C \lt 1\) összenyomja
\(y =f(Cx)\)
\(C \gt 1\) összenyomja az \(x\) irányban
\(0 \lt C \lt 1\) megnyújtja
\(y = -f(x)\) az \(x\)-tengelyre tükröz
\(y = f(-x)\) az \(y\)-tengelyre tükröz
Nagyon fontos tulajdonság a függvények körében az invertálhatósággal kapcsolatos, a szükséges fogalmakat foglalja össze az alábbi definíció.
Definíció5.1.3.
Legyen \(f : A \rightarrow B\) egy függvény. Azt mondjuk, hogy \(f\) injektív ha \(\forall a,b\in A\) esetén az \(f(a)=f(b)\) összefüggés teljesülése esetén \(a=b\text{.}\) Az \(f\) függvényt szürjektívnek nevezzük, ha \(\forall b\in B\) létezik \(a\in A\) úgy, hogy \(f(a)=b.\) Egy \(f\) függvényt bijektívnek nevezünk, ha az injektív és szürjektív is.
Ezután már tudjuk definiálni egy megfelelő függvény inverzét, fontos kiemelni, hogy ez nem minden függvény esetén létezik, ahogyan látni is fogjuk.
Definíció5.1.4.
Legyen \(f : A \rightarrow B\) egy injektív függvény. Ekkor az \(f\) inverzét a következő módon adhatjuk meg:
\begin{equation*}
f^{-1}=\left\{(f(x),x)\in B\times A | x\in A\right\}.
\end{equation*}
FeladatokFeladatok
1.
Határozzuk meg az alábbi függvények értelmezési tartományát és értékkészletét!
\(\displaystyle f(x)=(x+1)^2-1,\)
\(\displaystyle g(x)=\sqrt{4-x^2}-2,\)
\(\displaystyle h(x)=\frac{1}{3x-2}.\)
2.
Adott két függvény: \(f(x)=\frac{3}{1-x}\) és \(g(x)=x^2+1.\) Határozzuk meg az alábbi függvényeket:
\(\displaystyle (f+g)(x),\)
\(\displaystyle (fg)(x),\)
\(\displaystyle (\frac{f}{g})(x),\)
\(\displaystyle (f\circ g)(x),\)
\(\displaystyle (g\circ f)(x),\)
\(\displaystyle (f^{-1})(x).\)
3.
Az \(f\) és \(g\) függvényeket az alábbi táblázatok segítségével értelmezzük:
