Ugrás a fő tartalomjegyzékre
Logo image

MÉK Matematika

Tengely Szabolcs

Pont 4.1 Determináns

Először \(2\times 2\)es mátrixok determinánsát definiáljuk. Legyen \(A = \left[\begin{array}{rr} \vvec_1 \amp \vvec_2 \end{array}\right]\text{.}\) Szükségünk lesz vektorok irányítására a fogalom bevezetéséhez: ahogyan Ábra 4.1.1 mutatja, egy rendezett vektorpár \(\vvec_1\) és \(\vvec_2\) irányítása pozitív ha a két vektor által az óramutató járásával ellentétes irányban mért bezárt szög kisebb, mint \(180^\circ\text{;}\) ellenkező esetben a két vektor negatív irányítású.
Ábra 4.1.1. A bal oldalon a vektorok pozitív irányításuak a jobb oldalon pedig negatív.

Definíció 4.1.2.

Tegyük fel, hogy egy \(2\times2\) \(A\) mátrix oszlopai \(\vvec_1\) és \(\vvec_2\text{.}\) Ha a vektorpár pozitív irányítású, akkor az \(A\) determinánsa, jelölés: \(\det(A)\text{,}\) a \(\vvec_1\) és \(\vvec_2\) által alkotott parallelogramma területe. Ha a pár negatív irányítású, akkor \(\det(A)\) a terület -1-szerese.

Példa 4.1.3.

Egy egyszerű példán nézzük ezt meg:
\begin{equation*} I = \left[\begin{array}{rr} 1\amp 0 \\ 0 \amp 1 \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr} \evec_1 \amp \evec_2 \\ \end{array}\right]\text{.} \end{equation*}
Ahogyan látjuk az Ábra 4.1.4, a két vektor \(\vvec_1 = \evec_1\) és \(\vvec_2=\evec_2\) pozitív irányítású. A parallelogramma itt egy \(1\times1\)-es négyzet, azaz \(\det(I) = 1.\)
Ábra 4.1.4. A determináns balra: \(\det(I) = 1\text{.}\) Jobbra pedig \(\det(A) = -2\) ahol \(A\) a megfelelő oszlopvektorokkal bemutatott mátrix.
Legyen
\begin{equation*} A = \left[\begin{array}{rr} -2\amp 0 \\ 0 \amp 1 \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr} \vvec_1 \amp \vvec_2 \\ \end{array}\right]\text{.} \end{equation*}
Tekintsük: Ábra 4.1.4, a két vektor \(\vvec_1\) és \(\vvec_2\) negatív irányítású. A parallelogramma ebben az esetben egy \(2\times1\)-es téglalap, ezért \(\det(A) = -2\text{.}\)
Később ebben a fejezetben egy algebrai technikát fogunk tanulni a determinánsok kiszámítására. Annyit jegyzünk meg, hogy a determinánsokat \(n\times n\) mátrixok esetén a mátrix oszlopaival meghatározott "test" térfogatának mérésével definiálhatjuk, még akkor is, ha ez a "test" \(\real^n\)-ben található valamilyen nagyon nagy \(n\) esetén.
Például egy \(3\times3\) mátrix \(A\) oszlopai párhuzamos hasábformát alkotnak, mint az itt látható, és van egy mód arra, hogy az ilyen vektorok halmazait pozitívan vagy negatívan orientáltnak minősítsük. Ezért a determinánst \(\det(A)\) a párhuzamos hasáb térfogatának kifejezésével definiálhatjuk, de most nem foglalkozunk a részletekkel.
A vizsgált \(2\times2\)-es mátrixok determinánsaival kapcsolatban megfigyelhetünk olyan tulajdonságokat, amelyek nagyobb méretű mátrixok esetén is teljesülnek.
  • Ha \(A\) egy trianguláris mátrix, akkor \(\det(A)\) a főátlóban szereplő elemek szorzata. Például,
    \begin{equation*} \det\left[\begin{array}{rr} 2 \amp 2 \\ 0 \amp 3 \\ \end{array}\right] = 2\cdot 3 = 6\text{,} \end{equation*}
    amit az Ábra 4.1.5 látható négyszögek területéből is ki tudunk olvasni.
    Ábra 4.1.5. Trianguláris mátrixok determinánsa a főátlóban szereplő elemek szorzata.
  • Megjegyezzük, hogy
    \begin{equation*} \det \left[\begin{array}{rr} 0 \amp 1 \\ 1 \amp 0 \\ \end{array}\right] = -1 \end{equation*}
    mivel a vektorpár negatív irányítású.
  • A determináns multiplikatív tulajdonságú
    \begin{equation*} \det(AB) = \det(A)\det(B). \end{equation*}
Ahhoz, hogy ezt jobban megértsük, emlékezzünk arra, hogy az \(A\) mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha ekvivalens az egységmátrixszal. Ezért meg fogjuk vizsgálni, hogyan változik a determináns, amikor sorműveleteket végzünk egy mátrixon. Ezzel egyúttal egy igen hatékony módszert is kapunk a determináns kiszámítására.
Sorműveletek segítségével egy \(A\) mátrixból eljutunk egy \(A'\) mátrixhoz, közben szeretnénk látni hogyan függ össze \(\det(A)\) és \(\det(A')\text{.}\) Tekintsünk néhány példát:
  • Felszorzás egy \(A\) mátrix esetében, ezt egy mátrixszorzással el tudjuk érni:
    \begin{equation*} S = \left[\begin{array}{rrr} 1 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 3 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \\ \end{array}\right], \end{equation*}
    ekkor az \(A\) második sorát felszorozzuk \(3\)-mal és megkapjuk \(A'\text{.}\) Mivel \(S\) diagonális, ezért \(\det(S) = 3\text{.}\) Mivel \(A'=SA\) kapjuk, hogy
    \begin{equation*} \det(A')=\det(S)\det(A) = 3\det(A). \end{equation*}
    Általában, ha egy \(A\) mátrix egy sorát \(k\)-val felszorozzuk, akkor \(\det(A') = k\det(A)\text{.}\)
  • Felcserélést szintén le tudunk írni szorzás segítségével, például:
    \begin{equation*} P = \left[\begin{array}{rrr} 0 \amp 1 \amp 0 \\ 1 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \\ \end{array}\right], \end{equation*}
    ekkor egy adott \(A\) mátrix első és második sora cserélődik fel. Alkalmazva Állítás 4.1.6, \(\det(P) = -1\text{.}\) Ekkor a \(PA=A'\) alapján adódik, hogy
    \begin{equation*} \det(A')=\det(P) \det(A) = -\det(A). \end{equation*}
    Röviden, \(\det(A') = -\det(A)\) sorok felcserélése esetén.
  • Helyettesítésnél használhatunk szintén mátrixokat, mint például
    \begin{equation*} R = \left[\begin{array}{rrr} 1 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 1 \amp 0 \\ -2 \amp 0 \amp 1 \\ \end{array}\right], \end{equation*}
    ahol a szorzás után a harmadik sor úgy adódik, hogy az eredeti harmadik sorhoz hozzáadjuk az első sor \(-2\)-szeresét. Ez egy alsó trianguláris mátrix, így a determinánsa a főátlóban szereplő elemek szorzata: \(\det(R) = 1\text{.}\) Mivel \(RA = A'\text{,}\) kapjuk, hogy \(\det(A')=\det(R)\det(A) = \det(A)\text{.}\)
Amennyiben \(A\) invertálható, akkor \(A^{-1}A = I\text{,}\) innen kapjuk, hogy
\begin{equation*} \det(A^{-1}A) = \det(A^{-1})\det(A) = 1. \end{equation*}
Így \(\det(A^{-1}) = 1/\det(A)\text{.}\)

Alpont 4.1.1 Determináns kifejtés

Már van egy módszerünk a mátrix determinánsának kiszámítására sorműveletek segítségével. Van egy másik módszer, amelyet determináns kifejtésnek neveznek, és amely fontos néhány alkalmazás szempontjából. Ezt a módszert itt fogjuk bemutatni.
Kezdetnek egy \(2\times2\)-es mátrix:
\begin{equation*} \det\left[\begin{array}{rr} a \amp b \\ c \amp d \\ \end{array}\right] = ad-bc\text{.} \end{equation*}
Meg lehet mutatni, hogy ez megfelel a korábban bevezetett területen alapuló értéknek.
Általánosabb \(n\times n\)-es mátrixok esetében kicsit több előkészületre van szükségünk, kezdjük egy példával:

Példa 4.1.10.

Illusztrációként az alábbi \(A\) mátrix esetében mutatjuk be a determináns kifejtést:
\begin{equation*} A = \left[\begin{array}{rrr} 1 \amp -1 \amp 2 \\ -2 \amp 2 \amp -6 \\ 3 \amp -1 \amp 10 \\ \end{array}\right]. \end{equation*}
Kezdésként válasszunk egy sort vagy oszlopot. Nem számít, melyiket választjuk, mert az eredmény bármelyik esetben ugyanaz lesz. Itt a második sort választjuk.
\begin{equation*} \left[\begin{array}{rrr} \lgray{1} \amp \lgray{-1} \amp \lgray{2} \\ -2 \amp 2 \amp -6 \\ \lgray{3} \amp \lgray{-1} \amp \lgray{10} \\ \end{array}\right]\text{.} \end{equation*}
A determináns kifejezések egy összege lesz, a kiválasztott sor/oszlop minden eleméhez rendelünk egy kifejezést:
  • \((-1)^{i+j}\) lesz egy szorzó tényező, ahol \(i\) és \(j\) sor illetve az oszlop számát jelöli az adott elemnek
  • egy másik szorzó maga az elem lesz
  • végül szorzó lesz egy determináns, annak a mátrixnak, ami úgy keletkezik, hogy elhagyjuk az adott elem sorát és oszlopát.
Példánkban:
\begin{equation*} \left[\begin{array}{rrr} \gray{1} \amp \gray{-1} \amp \gray{2} \\ -2 \amp 2 \amp -6 \\ \gray{3} \amp \gray{-1} \amp \gray{10} \\ \end{array}\right] \end{equation*}
a második sor első eleme: \(-2\text{.}\)
Az elem maga \(-2\text{,}\) a mátrix a megfelelő sor / oszlop elhagyása után:
\begin{equation*} \left[\begin{array}{rrr} \gray{1} \amp {-1} \amp {2} \\ \gray{-2} \amp \gray{2} \amp \gray{-6} \\ \gray{3} \amp {-1} \amp {10} \\ \end{array}\right] \end{equation*}
ennek determinánsa
\begin{equation*} \det\left[\begin{array}{rr} -1 \amp 2 \\ -1 \amp 10 \\ \end{array}\right] = -1(10) - 2 (-1) = -8\text{.} \end{equation*}
végezetül a megfelelő \((-1)\) hatvány (itt \(i+j=2+1\) mivel második sor első oszlop az elem pozíciója) \((-1)^{2+1}(-2)(-8) = -16 \text{.}\)
Összerakva az előző számolásokat:
\begin{equation*} \begin{aligned} \left[\begin{array}{rrr} {1} \amp {-1} \amp {2} \\ -2 \amp {2} \amp {-6} \\ {3} \amp {-1} \amp {10} \\ \end{array}\right] {}={} \amp (-1)^{2+1}(-2)\det\left[\begin{array}{rr} -1 \amp 2 \\ -1 \amp 10 \\ \end{array}\right] \\ \amp {}+{} (-1)^{2+2}(2)\det\left[\begin{array}{rr} 1 \amp 2 \\ 3 \amp 10 \\ \end{array}\right] \\ \amp {}+{} (-1)^{2+3}(-6)\det\left[\begin{array}{rr} -1 \amp -1 \\ 3 \amp -1 \\ \end{array}\right] \\ \\ {}={} \amp (-1)(-2)(-1(10)-2(-1)) \\ \amp + (1)(2)(1(10)-2(3)) \\ \amp + (-1)(-6)((-1)(-1)-(-1)3) \\ \\ {}={} \amp -16 + 8 + 12 \\ {}={} \amp 4 \\ \end{aligned}\text{.} \end{equation*}
Bevezetünk pár hasznos fogalmat nagyobb mátrixok determinánsának kifejtéséhez.

Definíció 4.1.11. Aldetermináns.

Legyen \(\tta\) egy \(n\times n\) mátrix. Az \((i,j)\)-aldeterminánsa az \(\tta\) mátrixnak, jelölés: \(\tta_{ij}\text{,}\) az \((n-1)\times(n-1)\)-es mátrix determinánsa, ami az \(i\) sor és \(j\) oszlop törlésével adódik \(\tta\)-ból.
Az \((i,j)\)-előjeles aldetermináns pedig
\begin{equation*} C_{ij}=(-1)^{i+j}\tta_{ij}\text{.} \end{equation*}
Már majdnem készen állunk arra, hogy meghatározzuk a determinánst bármely négyzetes mátrixra; még egy utolsó definícióra van szükségünk.

Definíció 4.1.12. Aldetermináns kifejtés.

Legyen \(A=[a_{ij}]\) egy \(n\times n\)-es mátrix. Az aldetermináns kifejtése az \(\tta\) mátrixnak a \(i\) sort használva a következő összeggel egyenlő:
\begin{equation*} a_{i,1}C_{i,1} + a_{i,2}C_{i,2} + \cdots + a_{i,n}C_{i,n}\text{.} \end{equation*}
Az aldetermináns kifejtése \(\tta\)-nak a \(j\) oszlopot használva a következő összegből adódik:
\begin{equation*} a_{1,j}C_{1,j} + a_{2,j}C_{2,j} + \cdots + a_{n,j}C_{n,j}\text{.} \end{equation*}
Jöhet a determináns egy másik értelmezése.

Definíció 4.1.13. Determináns.

A determináns egy \(n\times n\)-es \(\tta\) mátrix esetében, jelölés: \(\det(A)\) vagy \(|\tta|\text{,}\) a következő számmal adott:
  • ha \(\tta\) egy \(1\times 1\)-es mátrix \(\tta = [a]\text{,}\) akkor \(\det(A) = a.\)
  • Ha \(\tta\) egy \(2\times 2\)-es mátrix
    \begin{equation*} \tta = \bbm a \amp b\\c \amp d\ebm, \end{equation*}
    akkor \(\det(A) = ad-bc\text{.}\)
  • Ha \(\tta\) egy \(n\times n\)-es mátrix, ahol \(n\geq 2\text{,}\) akkor \(\det(A)\) az első sorra alkalmazott aldetermináns kifejtésből adódó szám, azaz
    \begin{equation*} \det(A) = a_{1,1}C_{1,1} + a_{1,2}C_{1,2} + \cdots + a_{1,n}C_{1,n}\text{.} \end{equation*}

Példa 4.1.14. Példa \(3\times 3\) determináns kifejtésére.

Határozzuk meg az alábbi mátrix determinánsát:
\begin{equation*} \tta = \bbm 3 \amp 6 \amp 7\\0\amp 2\amp -1\\3\amp -1\amp 1\ebm\text{.} \end{equation*}
Megoldás.
Meghatározzuk az aldeterminánsokat és ezekből összerakjuk a determináns értékét:
\begin{align*} C_{1,1} \amp = (-1)^{1+1}\tta_{1,1} \amp C_{1,2} \amp = (-1)^{1+2}\tta_{1,2} \amp C_{1,3} \amp = (-1)^{1+3}\tta_{1,3}\\ \amp = 1\cdot\bvm 2\amp -1\\-1\amp 1\evm \amp \amp = (-1)\cdot\bvm 0\amp -1\\3\amp 1\evm \amp \amp = 1\cdot\bvm 0\amp 2\\3\amp -1\evm\\ \amp = 2-1 \amp \amp = (-1)(0+3) \amp \amp = 0-6\\ \amp =1 \amp \amp =-3 \amp \amp =-6\text{.} \end{align*}
A determináns tehát:
\begin{equation*} \det(A) = 3(1)+6(-3)+7(-6) = -57\text{.} \end{equation*}
El.TopKöv.