Pont 3.1 Lineáris egyenletrendszerek
Először egy lineáris egyenletet tekintünk, amelynek a formája
\begin{equation*}
y = 2x - 1\text{.}
\end{equation*}
Hasznos lesz számunkra, ha ezt úgy írjuk át, hogy az ismeretlenek egy oldalra kerüljenek:
\begin{equation*}
-2x + y = -1\text{.}
\end{equation*}
Általánosságban elmondható, hogy egy egyenes egyenlete mindig kifejezhető az
\begin{equation*}
ax + by = c
\end{equation*}
formában, ami lehetővé teszi számunkra, hogy minden egyenest leírjunk. Például a függőleges egyenesek, mint például \(x=3\text{,}\) ebben a formában is ábrázolhatók.
Vegyük észre, hogy a bal oldalon található minden kifejezés egy állandó és egy ismeretlen első hatványának szorzataként jelenik meg. A jövőben olyan egyenletekkel szeretnénk foglalkozni, amelyek sokkal több ismeretlent tartalmaznak, amelyeket néha \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) jelöléssel fogunk megjelölni. Ez a következő definícióhoz vezet:
Definíció 3.1.1.
Egy lineáris egyenlet az ismeretlenek \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) segítségével írható fel
\begin{equation*}
a_1x_1 + a_2x_2 + \ldots + a_nx_n = b\text{,}
\end{equation*}
ahol \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) valós számok, amelyeket együtthatóknak nevezünk. Azt is mondjuk, hogy \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) az egyenlet változói.
Egy lineáris egyenletrendszer olyan lineáris egyenletek egy rendszerét értjük, amelyeknél a változók halmaza megegyezik.
Például,
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{4}
2x_1 \amp {} + \amp {} 1.2x_2 \amp {}-{} \amp 4x_3 \amp {}={}
\amp 3.7 \\
-0.1x_1 \amp {} \amp {} \amp {} + {} \amp x_3 \amp {}={}
\amp 2 \\
x_1 \amp {}+{} \amp x_2 \amp {}-{} \amp x_3 \amp {}={} \amp
1.4 \\
\end{alignedat}
\end{equation*}
egy lineáris egyenletrendszer.
Definíció 3.1.2.
Egy megoldás egy lineáris rendszerhez egyszerűen \(x_1 = s_1, x_2 = s_2, \ldots, x_n=s_n\text{,}\) amely kielégíti a rendszer összes egyenletét.
Például a következő rendszer esetében:
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3}
-x \amp {}+{} \amp y \amp {} = {} \amp 1 \\
-2x \amp {}+{} \amp y \amp {} = {} \amp -1. \\
\end{alignedat}
\end{equation*}
Ellenőrizzük, hogy \((x,y) = (2,3)\) megoldás:
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3}
-2 \amp {}+{} \amp 3 \amp {} = {} \amp 1 \\
-2(2) \amp {}+{} \amp 3 \amp {} = {} \amp -1. \\
\end{alignedat}
\end{equation*}
Alpont 3.1.1 Összefoglalás
A fejezet célja, hogy néhány egyszerű példa segítségével intuíciót építsen a lineáris rendszerek megoldásainak viselkedéséről. A jövőbeli tanulmányaink során mélyebb és pontosabb képet fogunk kialakítani ezekről a fogalmakról.
Lineáris egyenlet alakja:
\begin{equation*}
a_1x_1 + a_2x_2 + \ldots + a_nx_n = b\text{.}
\end{equation*}
Lineáris egyenletrendszer olyan lineáris egyenletek halmaza, amelyekben azonos változók szerepelnek (előfordulhat, hogy bizonyos egyenleteknél 0 együtthatóval szerepel valamelyik változó). Egy megoldás a rendszernek olyan rögzített helyettesítése a változóknak konkrét számokkal, amely minden egyenletet kielégít.
Azt figyelhettük meg, hogy egy lineáris egyenletrendszer vagy végtelen sok megoldás, vagy pontosan egy megoldás létezik, esetleg nincs megoldása.
Ha egy rendszerhez több egyenletet adunk hozzá, akkor a megoldások tére általában szűkül.
