Pont 9.1 Függvény deriváltja
Ahogyan látni fogjuk egy adott függvény deriváltjának vizsgálatával meg tudjuk állapítani a függvény bizonyos tulajdonságait is. Ezen túl is rengeteg alkalmazása van a deriváltaknak. A fogalom megközelítését egy korábbi témakörhöz kapcsolódóan vezetjük be. Egyenesek egyenletével már találkoztunk, ezek az objektumok jól kezelhetőek, tudjuk őket ábrázolni. Nézzünk egy példát, ami rávilágít pár hasznos tulajdonságra.
Példa 9.1.1. Egyenes meredeksége.
Nézzük mit is jelent egy egyenes meredeksége, legyen például:
\begin{align*}
y&=\tfrac{1}{2}x+\tfrac{3}{2}
\end{align*}
Az egyenes egyik pontja a következő:
\begin{gather*}
(x_0,y_0)=(1\,,\,2=\tfrac{1}{2}\times 1+\tfrac{3}{2})
\end{gather*}
vegyünk egy másik pontot az egyenesen:
\begin{gather*}
(x_1,y_1)=(5\,,\,4=\tfrac{1}{2}\times 5+\tfrac{3}{2}).
\end{gather*}
Az első ponttól a másodikig az \(x\)–koordináta változása:
\begin{gather*}
\Delta x= 5-1=4
\end{gather*}
az \(y\)–koordináta változása pedig:
\begin{gather*}
\Delta y=4-2=2.
\end{gather*}
Ezt általános esetben is meg tudjuk vizsgálni, vegyünk egy pontot:
\begin{align*}
(x_0,y_0) &= (x_0, \tfrac{1}{2}x_0+\tfrac{3}{2})
\end{align*}
és egy másikat:
\begin{align*}
(x_1,y_1) &= (x_1, \tfrac{1}{2}x_1+\tfrac{3}{2})
\end{align*}
ekkor az
\(x\)–koordinátában a változás:
\begin{gather*}
\Delta x=x_1-x_0
\end{gather*}
és az
\(y\)–koordinátában pedig:
\begin{align*}
\Delta y&=y_1-y_0\\
&=\big[\tfrac{1}{2}x_1+\tfrac{3}{2}\big]
-\big[\tfrac{1}{2}x_0+\tfrac{3}{2}\big]\\
&=\tfrac{1}{2}(x_1-x_0)
\end{align*}
ami
\(\tfrac{1}{2}\Delta x\text{.}\)
Azaz az \(y=\tfrac{1}{2}x+\tfrac{3}{2}\) egyenes esetében \(\tfrac{\Delta y}{\Delta x} =\tfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\) mindig \(\frac{1}{2}\) függetlenül az \((x_0,y_0)\) és az \((x_1,y_1)\) értékeitől. Ez a konstans nem más, mint az \(y=\tfrac{1}{2}x+\tfrac{3}{2}\) egyenes meredeksége.
Most rátérünk a “derivált” definíciójára, felhasználjuk a görbe adott pontjában húzott érintő ötletét. Ezután megnézzük, hogyan lehet kiszámítani néhány egyszerű deriváltat.
Legyen \((x_0,y_0)\) egy pont az \(y=f(x)\) függvény görbéjén. Ekkor \(y_0=f(x_0)\text{.}\) Most legyen \((x_1,y_1)\) bármely más pont ugyanezen a görbén. Azaz \(y_1=f(x_1)\) és \(x_1\ne x_0\text{.}\) Gondoljunk \((x_1,y_1)\)-re úgy, hogy elég közel legyen \((x_0,y_0)\)-hez, így a különbség
\begin{gather*}
\Delta x=x_1-x_0
\end{gather*}
az \(x\)–koordinátákban elég kicsi. Ezen \(\Delta x\) kifejezés alapján
\begin{gather*}
x_1=x_0+\Delta x\qquad\text{és}\qquad
y_1=f\big(x_0+\Delta x\big)
\end{gather*}
Készíthetünk egy közelítő egyenest \((x_0,y_0)\) és \((x_1,y_1)\) között, ahogyan azt a fenti parabolánál láthatjuk. Ennek a meredeksége
\begin{gather*}
\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=\frac{f\big(x_0+\Delta x\big)-f(x_0)}{\Delta x}
\end{gather*}
Ha \(f(x)\) függvény elég "szép" (ezt most nem pontosítjuk), akkor ahogy \(x_1\) megközelíti \(x_0\)-t, azaz ahogy \(\Delta x\) megközelíti \(0\)-t, elvárnánk, hogy a \((x_0,y_0)\) és \((x_1,y_1)\) közötti közelítő egyenes megközelítse a görbe \(y=f(x)\) érintőjét \((x_0,y_0)\)-ban. Ami még szintén fontos, az \((x_0,y_0)\) és \((x_1,y_1)\) közötti közelítő egyenes meredeksége meg kell, hogy közelítse a görbe \(y=f(x)\) érintőjének meredekségét az \((x_0,y_0)\)-ban. Így azt várnánk, hogy az \(y=f(x)\) görbe érintőjének meredeksége \((x_0,y_0)\) pontban a következő legyen:
\begin{gather*}
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\big(x_0+\Delta x\big)-f(x_0)}{\Delta x}.
\end{gather*}
Definíció 9.1.2. Derivált adott pontban.
Legyen \(a\in\mathbb{R}\) és legyen \(f(x)\) definiálva egy nyitott intervallumon, amely tartalmazza \(a\)-t.
Az
\(f(x)\) deriváltja
\(x=a\) pontban
\(f'(a)\) van jelölve és a következőképpen van definiálva:
\begin{gather*}
f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\big(a+h\big)-f(a)}{h}
\end{gather*}
ha a határérték létezik.
Ha a fenti határérték létezik, akkor az \(f(x)\) függvényt \(x=a\) pontban differenciálhatónak mondjuk. Ha a határérték nem létezik, akkor az \(f(x)\) függvényt \(x=a\) pontban nem differenciálhatónak mondjuk.
Egyenértékűen definiálhatjuk az
\(f'(a)\) deriváltat a következő határértékkel:
\begin{gather*}
f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
\end{gather*}
Annak megértéséhez, hogy ez a két definíció ugyanaz, legyen
\(x=a+h\) és akkor a határérték, ahogy
\(h\) a
\(0\)-hoz közelít, egyenértékű a határértékkel, ahogy
\(x\) az
\(a\)-hoz közelít.
Most számoljuk ki néhány nagyon egyszerű függvény deriváltjait. Ez az első lépésünk a bonyolult függvények deriváltjainak kiszámításához szükséges eszköztár felépítése felé. Talán a két legegyszerűbb függvény, amit ismerünk, az \(f(x)=c\) és a \(g(x)=x\text{.}\)
Példa 9.1.3. Az \(f(x)=c\) függvény deriváltja.
Legyen \(a, c \in\mathbb{R}\text{.}\) Számítsuk ki az \(f(x) = c\) konstans függvény deriváltját \(x=a\) pontban. A kívánt deriváltat úgy számítjuk ki, hogy a vizsgált függvényt behelyettesítjük a derivált formális definíciójába.
\begin{align*}
f'(a) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} && \text{(a definíció)}\\
&= \lim_{h \to 0} \frac{c - c}{h} && \text{(behelyettesítve a függvénybe)}\\
&= \lim_{h \to 0} 0 &&\text{(egyszerűsítve)}\\
&= 0
\end{align*}
Példa 9.1.4. A \(g(x)=x\) deriváltja.
Legyen \(a\in \mathbb{R}\) és számítsuk ki a \(g(x) = x\) deriváltját \(x=a\) pontban. Ismét, a \(g\) deriváltját úgy számítjuk ki, hogy egyszerűen behelyettesítjük a függvényt a derivált formális definíciójába, majd kiértékeljük a kapott határértéket.
\begin{align*}
g'(a) &= \lim_{h \to 0} \frac{g(a+h) - g(a)}{h}
&& \text{(a definíció)}\\
&= \lim_{h \to 0} \frac{(a+h) - a}{h}
&& \text{(behelyettesítve a függvénybe)}\\
&= \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} && \text{(egyszerűsített alakban)}\\
&= \lim_{h \to 0} 1 && \text{(még egy kicsit egyszerűsítve)}\\
&= 1
\end{align*}
Ezeket a számolásokat általánosabban is megtehetjük és a deriválást egy adott \(a\) pontban módosíthatjuk, hogy a deriváltat \(x\) függvényeként kapjuk. Helyettesítjük a következőt:
\begin{align*}
f'(a) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\\
\end{align*}
ezzel
\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\end{align*}
ami a következő definíciót adja nekünk.
Definíció 9.1.5. Derivált mint függvény.
Legyen \(f(x)\) egy függvény.
Az
\(f(x)\) deriváltja
\(x\) szerint
\begin{gather*}
f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\big(x+h\big)-f(x)}{h},
\end{gather*}
feltéve, hogy a határérték létezik.
Ha az \(f'(x)\) derivált létezik minden \(x \in (a,b)\) esetén, akkor azt mondjuk, hogy \(f\) differenciálható az \((a,b)\) intervallumon.
Példa 9.1.6. Az \(f(x)=\tfrac{1}{x}\) függvény deriváltja.
Legyen \(f(x) = \frac{1}{x}\) és számítsuk ki a deriváltját \(x\) szerint.
Az első lépésünk az, hogy leírjuk a derivált definícióját — ezen a ponton nem ismerünk más stratégiát a deriváltak kiszámítására.
\begin{align*}
f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
&& \text{(a definíció)}
\end{align*}
Most behelyettesítjük a függvényt és kiszámítjuk a határértéket.
\begin{align*}
f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
&& \text{(a definíció)}\\
&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\left[\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}\right]
&& \text{(behelyettesítettük a függvénybe)}\\
&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\ \frac{x-(x+h)}{x(x+h)}
&& \text{(közös nevezőre hoztuk)}\\
&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\ \frac{-h}{x(x+h)}
&& \text{(kezdjük az egyszerűsítést)}\\
&=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{-1}{x(x+h)}\\
&=-\frac{1}{x^2}.
\end{align*}
Térjünk vissza a kiindulási pontunkhoz, azaz a deriváltak bevezetésekor említett érintő egyenesekhez. Most, hogy már bevezettük a derivált fogalmát az érintő egyenesek egyenletét le is tudjuk írni a segítségével.
Tétel 9.1.7. Érintő egyenlete.
Az \(y=f(x)\) görbének az \(x=a\) pontban lévő érintő egyenese a következő egyenlettel adható meg:
\begin{align*}
y &= f(a) + f'(a) \, (x-a)
\end{align*}
feltéve, hogy a derivált \(f'(a)\) létezik.
Példa 9.1.8. Érintő egyenlete az \(y=\sqrt{x}\) függvénynél.
Határozzuk meg az \(y=\sqrt{x}\) érintőjének egyenletét az \(x=4\) pontban.
Csak helyettesítsünk be
\(A=\sqrt{x}\) és
\(B=\sqrt{a}\) az
\(A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) \) azonosságba, hogy megkapjuk:
\begin{align*}
x - a &= (\sqrt{x}-\sqrt{a})(\sqrt{x}+\sqrt{a})
\end{align*}
és ezután
\begin{align*}
\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}
&=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{(\sqrt{x}-\sqrt{a})(\sqrt{x}+\sqrt{a})}
& \text{(most töröljük a közös tényezőket)}\\
&=\frac{1}{(\sqrt{x}+\sqrt{a})}
\end{align*}
Miután tudjuk, hogy
\(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}\text{,}\) meghatározzuk a szükséges határértéket:
\begin{align*}
f'(a)
&=\lim_{x\rightarrow a}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}\\
&
=\lim_{x\rightarrow a}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}\\
&
=\frac{1}{2\sqrt{a}}
\end{align*}
A tétel alapján az
\(y=f(x)\) érintője az
\(x=a\) pontban:
\begin{align*}
y &= f(a) + f'(a) (x-a)
\end{align*}
feltéve, hogy
\(f'(a)\) létezik.
Fenti számolásnál megmutattuk, hogy
\(a \gt 0\) esetén a
\(\sqrt{x}\) deriváltja az
\(x=a\) pontban
\begin{align*}
f'(a) &= \frac{1}{2\sqrt{a}}.
\end{align*}
Most
\(a=4\) így adódik, hogy
\begin{align*}
f(a)\amp=f(4)=\sqrt{x}\big|_{x=4}=\sqrt{4}=2\\
\text{és}\qquad
f'(a)\amp=f'(4)=\frac{1}{2\sqrt{a}}\Big|_{a=4}=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}.
\end{align*}
Így az
\(y=\sqrt{x}\) érintője az
\(x=4\) pontban:
\begin{gather*}
y= 2+\frac{1}{4}\,\big(x-4\big)\qquad\text{vagy}\qquad
y=\frac{x}{4}+1
\end{gather*}
