Pont 2.1 Sorozatok
Alpont 2.1.1 Sorozatok és formulák
Helyettesíthetjük az \(a\) betűt egy másikkal, és néha kihagyjuk \(a_0\)-t, \(a_1\)-től kezdve, ekkor \((a_n)_{n \ge 1}\) -et használnánk a sorozatra mint egészre való hivatkozásra. A változók után szereplő számokat indexeknek hívjuk.
Bár gyakran csak úgy gondolunk egy sorozatra, mint egy rendezett számok listájára, valójában ez egyfajta függvény. Kifejezetten az \((a_n)_{n\ge 0}\) sorozat egy függvény, amelynek a tartománya \(\N\text{,}\) ahol \(a_n\) a természetes szám \(n\) képe. Később a sorozatokat ugyanúgy fogjuk manipulálni, ahogy a függvényeket az algebrában vagy a kalkulusban. A függvények témakörhöz érve ez az analógia segíthet a fogalmak megértésében.
Ezért, bár hasznos szem előtt tartani a szigorú matematikai definíciót, gyakran úgy írjuk le a sorozatokat, hogy felírjuk az első néhány tagot.
Példa 2.1.1.
Folytassuk a következő sorozatokat!
Megoldás.
Ez a sorozat első néhány tagja ismeretében nem egyértelmű.
Ezek lehetséges megoldások, sok esetben más szabályok is adhatnak megoldásokat.
Sokszor mégis így járunk el, a sorozat néhány tagját adjuk meg.
Mivel egy sorozat kezdeti tagjainak száma nem elegendő ahhoz, hogy biztosan megmondhassuk, melyik sorozattal van dolgunk, szükség van egy másik módra a sorozat meghatározására. Két fő módot vizsgálunk meg:
Definíció 2.1.2. Zárt alak.
A zárt képlet Egy \((a_n)_{n\in\N}\) sorozatra egy olyan képlet, amely \(a_n\)-et ad meg \(n\)-re egy rögzített véges számú művelet alkalmazásával. Ez az, amire általában képletként gondolunk \(n\)-ben, mintha egy hozzárendelést definiálnál \(n\) szerint (mert pontosan ezt csináljuk).
Definíció 2.1.3. Rekurzív definíció.
A rekurzív definíció egy \((a_n)_{n\in\N}\) sorozatra vonatkozik, amely egy egyenlet, amely a sorozat egy elemét a korábbi elemekkel (kisebb indexű elemekkel) kapcsolja össze, és adott kezdeti feltételekkel (a sorozat néhány kezdő elemének listája).
Könnyebb megérteni mi történik néhány példán keresztül:
Példa 2.1.4.
Figyeljük meg, hogy minden képletben, ha meg van adva \(n\text{,}\) akkor közvetlenül kiszámíthatjuk \(a_n\)-et: csak helyettesítsük be \(n\)-et. Például, hogy megtaláljuk \(a_3\)-t a második sorozatban, csak számítsuk ki: \(a_3 = \frac{3(3+1)}{2} = 6\text{.}\)
Ezekben a képletekben, ha \(n\) adott, nem tudjuk közvetlenül kiszámítani \(a_n\)-et, először meg kell találnunk \(a_{n-1}\)-et (vagy \(a_{n-1}\)-et és \(a_{n-2}\)-őt). A második sorozatban, hogy megtaláljuk \(a_3\)-at, \(2a_2\)-őt kell vennünk, de \(a_2 = 2a_1\) meghatározásához tudnunk kellene, hogy \(a_1 = 2a_0\text{.}\) Ezt tudjuk, így visszafejthetjük ezeket az egyenleteket, hogy megkapjuk \(a_1 = 54\text{,}\) \(a_2 = 108\) és végül \(a_3 = 216\) értékeket.
A zárt formulák, vagy akár rekurzív definíciók megtalálása sorozatokra nem triviális. Nincs egyetlen módszer erre. Ahogyan az integrálok kiértékelésénél vagy differenciálegyenletek megoldásánál, hasznos, ha van egy trükkökkel teli tarsolyunk, de néha nincs könnyű válasz.
Az egyik hasznos módszer, hogy egy adott sorozatot egy másik sorozathoz kapcsolunk, amelynek már ismerjük a zárt formuláját. Ehhez szükségünk van néhány “ismert sorozatra”, amelyekhez az új sorozatokat viszonyíthatjuk. Íme néhány, amit érdemes ismerni.
Néhány egyszerűbb sorozat.
- \(1, 4, 9, 16, 25, \ldots\)
A négyzetszámok. Az \((s_n)_{n \ge 1}\) sorozat zárt alakja \(s_n = n^2.\)
- \(1, 3, 6, 10, 15, 21, \ldots\)
A trianguláris számok. A \((T_n)_{n \ge 1}\) sorozat zárt alakja \(T_n = \frac{n(n+1)}{2}\text{.}\)
- \(1, 2, 4, 8, 16, 32,\ldots\)
2 hatványok. Az \((a_n)_{n \ge 0}\) zárt alakja \(a_n = 2^n\text{.}\)
- \(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots\)
A Fibonacci sorozat rekurzív módon: \(F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\) ahol \(F_1 = F_2 = 1\text{.}\)
Alpont 2.1.2 Részletösszegek
Bármely \((a_n)_{n \in \N}\) sorozatból mindig képezhetünk egy új \((b_n)_{n \in \N}\) sorozatot a következő módon:
\begin{equation*}
b_n = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n\text{.}
\end{equation*}
A definíciója miatt a \((b_n)\) sorozatot az \((a_n)\) sorozat részletösszeg sorozatának nevezzük. Hamarosan látni fogjuk, hogy az \((a_n)\) zárt képletéből néha lehet zárt képletet találni a \((b_n)\)-re.
Az összegek egyszerűbb leírása érdekében gyakran használunk olyan jelöléseket, mint
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^n a_k\text{.}
\end{equation*}
Ez azt jelenti, hogy összeadjuk az \(a_k\) értékeket, ahol \(k\) 1-ről \(n\)-re változik (az 1. Előadásban erről részletesebben szót ejtettünk).
Példa 2.1.5.
A szumma jelölés segítségével adjuk meg az alábbi összegeket:
\(\displaystyle 1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + 100\)
\(\displaystyle 1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 2^{50}\)
\(6 + 10 + 14 + \cdots + (4n - 2)\text{.}\)
Megoldás.
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{100} k\)
\(\displaystyle \sum_{k=0}^{50} 2^k\)
\(\displaystyle \sum_{k=2}^{n} (4k -2)\)
Az is gyakran hasznos, hogy megnézzük az \((a_{n})\) sorozat különbségének sorozatát. Ez alatt csak azt a \((d_n)\) sorozatot értjük, ahol
\begin{equation*}
d_n = a_{n+1} - a_{n}.
\end{equation*}
Például, ha \((a_n) = (1, 4, 9, 16, 25, \ldots)\) (a négyzetszámok sorozata, tehát \(a_n = n^2\)), akkor a különbségsorozat \((d_n) = (3, 5, 7, 9, \ldots)\text{,}\) mivel \(4-1 = 3\text{,}\) \(9-4 = 5\text{,}\) és így tovább. A különbségsorozatra itt is találhatnánk zárt képletet, hiszen \(a_n\)-re is van zárt képletünk. Az adódik, hogy
\begin{equation*}
d_n = a_{n+1} - a_n = (n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n+1.
\end{equation*}
Általában könnyű egy zárt formulából eljutni a különbségek sorozatának zárt formulájához. Nem mindig könnyű visszafelé haladni. Valójában hogyan nézne ki, ha egy különbségsorozattal kezdenénk és megkapnánk az “eredeti” sorozatot?
Hasznos itt egy rekurzív kapcsolat átgondolása. Mivel
\begin{equation*}
d_n = a_{n+1} - a_n\text{,}
\end{equation*}
ezért
\begin{equation*}
a_{n+1} = a_n + d_n\text{.}
\end{equation*}
Ez működik: hogy egy sorozat egyik tagjáról a következőre jussunk, hozzáadjuk a tagok közötti különbséget. Tehát az eredeti sorozat a különbségek sorozatának részleges összegsorozata!
A következő részekben látni fogjuk, hogy a különbségek sorozatának megértése pontosan megmondja, hol keressük a zárt képletet. A különbségek arra is utalnak, hogy hogyan hozzunk létre rekurzív definíciót.
Példa 2.1.6.
Keressünk olyan rekurzív összefüggést és kezdeti feltételeket, amelyek megegyeznek e sorozat feltételeivel: \(1, 5, 17, 53, 161, 485\ldots\text{.}\)
Megoldás.
A rekurzív reláció megtalálása könnyebb lenne, ha lenne némi kontextusunk a problémával kapcsolatban. Sajnos, csak a sorozat áll rendelkezésünkre. Ne feledjük, a rekurzív reláció megmondja, hogyan jutunk el az előző kifejezésekből a jövőbeli kifejezésekhez. Mi folyik itt? Megnézhetjük a tagok közötti különbségeket: \(4, 12, 36, 108, \ldots\text{.}\) Vegyük észre, hogy ezek 3-szorosára nőnek. Az eredeti sorozatban találunk hasonló szabályosságot? \(1\cdot 3 = 3\text{,}\) \(5 \cdot 3 = 15\text{,}\) \(17 \cdot 3 = 51\) stb. Úgy tűnik, hogy mindig 2-vel kevesebbet kapunk, mint a következő megadott elem.
Azaz \(a_n = 3a_{n-1} + 2\) a rekurzív formula és a kezdeti érték pedig \(a_0 = 1\text{.}\)
Alpont 2.1.3 Számtani sorozatok
Tegyük fel, hogy vállalkozásba kezdünk, amely matematikai művészeti nyomatokat árul. A nulladik héten két nyomatot adunk el. Ezt követően minden héten négyel többet, mint az előző héten. Hány nyomatot fogunk eladni az \(n\)edik héten?
A sorozat első néhány tagját könnyen kiszámíthatjuk: \(2, 6, 10, 14,\ldots\text{.}\) Honnan tudjuk, hogy ez helyes? A feladatból látjuk, hogy ahhoz, hogy az egyik tagtól a következőig eljussunk, 4-et kell hozzáadnunk. Így egyértelmű, hogy a sorozat rekurzív összefüggése a következő
\begin{equation*}
a_n = a_{n-1} + 4\text{.}
\end{equation*}
A a növekedés mértéke erre a sorozatra konstans \(4\) mivel a különbség két egymást követő tag esetén mindig 4 (azt is írhattuk volna, hogy \(a_n - a_{n-1} = 4\)).
Az ilyen sorozatokat számtani sorozatoknak nevezzük.
Most találjunk egy zárt képletet a sorozatunkhoz. Az első elem \(a_0 = 2\text{.}\) Az \(a_1\) meghatározásához hozzáadunk \(4\)-et. A következő elemhez ismét \(4\)-et kell hozzáadnunk, ami azt jelenti, hogy a kezdeti elemhez kétszer adtunk hozzá \(4\)-et. Ezután megint hozzáadunk \(4\)-et, összesen háromszor \(a_3\) esetében. Valójában, hogy megkapjuk \(a_n\)-t, összesen \(n\) alkalommal adunk hozzá \(4\)-et \(a_0\)-hoz. Így a sorozat zárt képlete
\begin{equation*}
a_n = 2 + 4n\text{.}
\end{equation*}
Ez bármely számtani sorozatra érvényes. Vagyis bármely olyan sorozat, amelynek állandó a különbsége, rendelkezik egy lineáris zárt képlettel, ahol a lineáris függvény “meredeksége” a különbség.
Számtani sorozatok.
Ha egy sorozat tagjai egy állandóval különböznek, azt mondjuk, hogy a sorozat számtani. Ha az \(a_n\) sorozat kezdőtagja \(a_0\) és a különbség \(d\text{,}\) akkor a következőképpen adhatjuk meg:
rekurzív definíció: \(a_n = a_{n-1} + d\) és \(a_0 = a\text{.}\)
Zárt alak: \(a_n = a + dn\text{.}\)
Ahogy a fenti példánkban tettük, a rekurzív definícióhoz meg kell határoznunk \(a_0\)-át. Ezután \(a_n\)-et \(a_{n-1}\) kifejezésében kell megadnunk. Ha az első tagot \(a\)-nak nevezzük, akkor \(a_0 = a\text{.}\) A számtani sorozat definíciója szerint a következő tagok közötti különbség valamilyen állandó, mondjuk \(d\text{.}\) Tehát \(a_n - a_{n-1} = d\text{,}\) vagy más szavakkal,
\begin{equation*}
a_0 = a \qquad a_n = a_{n-1} + d\text{.}
\end{equation*}
Nézzük meg, hogy miért helyes a zárt képlet. Ennek egyik módja, hogy a teleszkopikus összegzésnek nevezett technikát alkalmazzuk.
A rekurziós összefüggést a különbség formájában írjuk fel, \(a_n - a_{n-1} = d\) minden \(a_1\)-től \(a_n\)-ig terjedő tagra. Ez a következőket adja:
\begin{align*}
a_1 - a_0 = \amp d\\
a_2 - a_1 = \amp d\\
a_3 - a_2 = \amp d\\
\vdots \amp \\
a_{n-1} - a_{n-2} = \amp d\\
a_n - a_{n-1} = \amp d\text{.}
\end{align*}
Összeadjuk a fenti egyenleteket.
A jobb oldalon \(d\)-t \(n\)-szer adtuk össze, így az összeg \(d\cdot n\text{.}\)
A másik oldal esetében:
\begin{equation*}
(a_1 - a_0) + (a_2 - a_1) + (a_3 - a_2) + \cdots + (a_{n-1} - a_{n-2}) + (a_n - a_{n-1})\text{.}
\end{equation*}
Ezt átírjuk a következő módon:
\begin{equation*}
\cancel{a_1} - a_0 + \cancel{a_2} - \cancel{a_1} + \cancel{a_3} - \cancel{a_2} + \cdots + \cancel{a_{n-1}} - \cancel{a_{n-2}} + a_n - \cancel{a_{n-1}} = a_n - a_0\text{.}
\end{equation*}
A fentiek alapján kapjuk, hogy
\begin{equation*}
a_n - a_0 = d \cdot n
\end{equation*}
azaz
\begin{equation*}
a_n = a_0 + d \cdot n\text{.}
\end{equation*}
Példa 2.1.7.
Keressünk rekurzív definíciókat és zárt formulákat az alábbi számtani sorozatokra. Tegyük fel, hogy az első tag \(a_0\text{.}\)
\(2, 5, 8, 11, 14, \ldots\text{.}\)
\(50, 43, 36, 29, \ldots\text{.}\)
Megoldás.
Először is ellenőriznünk kell, hogy ezek a sorozatok valóban számtaniak-e, az egymást követő tagok különbségét véve. Ezáltal kiderül a különbség \(d\text{.}\)
\(5-2 = 3\text{,}\) \(8-5 = 3\text{,}\) stb. Ahhoz, hogy az egyes tagokból a következőbe jussunk, hármat adunk, azaz \(d = 3\text{.}\) A rekurzív definíció tehát \(a_n = a_{n-1} + 3\text{,}\) ahol \(a_0 = 2\text{.}\) A zárt képlet pedig \(a_n = 2 + 3n\text{.}\)
Itt a közös különbség \(-7\text{,}\) mivel \(-7\)-et adunk 50-hez, hogy 43-at kapjunk, és így tovább. Így van egy rekurzív definíciónk \(a_n = a_{n-1} - 7\text{,}\) amelyhez \(a_0 = 50\text{.}\) A zárt képlet pedig \(a_n = 50 - 7n\text{.}\)
Alpont 2.1.4 Számtani sorozatok összegzése
Keressük meg az első \(n\) pozitív egész szám összegét. Nevezzük ezt az összeget \(T_n\) -nek, és írjuk le kétszer, egyszer a szokásos sorrendben, egyszer pedig fordított sorrendben.
\begin{equation*}
\begin{array}{lccccccccc} & T_n & = & 1 & + & 2 &+ & 3 & + \cdots + & n \\ + & T_n & =& n & + &(n-1)& + & (n-2)& + \cdots + &1 \\\hline & 2T_n & =& n+1 & + & n+1 & + & n+1 &+ \cdots + & n+1 \end{array}
\end{equation*}
Ezután összeadjuk a két egyenletet. A bal oldali egyenlet \(2T_n\text{.}\) A jobb oldalon valami nagyszerű dolog történik: az összeg minden tagja megegyezik! Tehát ahelyett, hogy egy csomó különböző számot adnánk össze, most csak egy csomó azonos számot adunk össze. Az összegben \(n\) tag van, tehát megkapjuk,
\begin{equation*}
2T_n = n(n+1)\text{.}
\end{equation*}
Innen \(T_n\) egyszerűen adódik
\begin{equation*}
T_n = \frac{n(n+1)}{2}\text{,}
\end{equation*}
ahogyan vártuk.
Ez működni fog bármilyen számtani sorozat összegére. Hívjuk az összeget \(S\)-nek. Fordítsuk meg a sorozatot és addjuk hozzá az eredetihez. Ez egy azonos értéket ad annyiszor ahány elemét tekintettük a sorozatnak, a másik oldalon pedig \(2S\) adódik, innen \(S\) könnyen kifejezhető.
Példa 2.1.8.
Találj egy zárt képletet a \(6 + 10 + 14 + \cdots + (4n - 2)\) összegére.
Megoldás.
Ismét egy számtani sorozat összegével van dolgunk. Hány tagja van a sorozatnak? Nyilvánvaló, hogy a sorozat minden tagja a \(4k -2\) formát követi (amit az utolsó tag is bizonyít). Milyen értékeket vehet fel \(k\text{?}\) A 6-hoz \(k = 2\) szükséges. A \(4n-2\) eléréséhez \(k = n\) kell. Tehát a tagok számának meghatározásához meg kell számolnunk az egész számokat a \(2,3,\ldots, n\) tartományban. Ez \(n-1\text{.}\) (Van \(n\) szám 1-től \(n\)-ig, tehát eggyel kevesebb, ha 2-től kezdjük.)
Most vesszük a sorozatot és visszafelé véve összeadjuk az eredetivel:
| \(S =\) |
\(6\) |
\(+\) |
\(10\) |
\(+ \cdots +\) |
\(4n-6\) |
\(+\) |
\(4n-2\) |
| \(+ \quad S =\) |
\(4n-2\) |
\(+\) |
\(4n-6\) |
\(+ \cdots +\) |
\(10\) |
\(+\) |
6 |
| \(2S =\) |
\(4n+4\) |
\(+\) |
\(4n+4\) |
\(+ \cdots +\) |
\(4n+4\) |
\(+\) |
\(4n+4\) |
Mivel \(n-1\) tényező van, ezért:
\begin{equation*}
2S = (n-1)(4n+4)\qquad \mbox{ így } \qquad S = \frac{(n-1)(4n+4)}{2}\text{.}
\end{equation*}
Alpont 2.1.5 Mértani sorozatok
Mi a helyzet az olyan sorozatokkal, mint \(3, 6, 12, 24, 48, \ldots\text{?}\) Ez nem számtani, mert a tagok közötti különbség nem állandó. Azonban a hányados a sorrendben következő tagok között állandó: \(\frac{6}{3} = \frac{12}{6} = \frac{24}{12} = \cdots = 2\) Az ilyen sorozatokat mértani sorozatoknak nevezzük.
Felismerve, hogy a sorozat mértani, könnyen leírhatunk egy rekurzív definíciót: \(a_n = 2 a_{n-1}\text{,}\) ahol \(a_0 = 3\text{.}\)
Zárt képletet sem nehéz kiszámítani. Hogyan kapjuk például az \(a_3\) kifejezést? Kezdjük \(3\)-mal, majd megszorozzuk 2-vel, hogy \(a_1\)-et kapjunk, ismét megszorozzuk \(2\)-vel, hogy \(a_2\)-őt kapjunk, és harmadszor is megszorozzuk \(2\)-vel, hogy \(a_3\)-at kapjunk. Tehát összesen háromszor megszoroztuk \(3\)-at \(2\)-vel, vagyis \(a_3 = 3\cdot 2^3\text{.}\) Úgy néz ki, hogy \(a_n = 3\cdot 2^n\text{.}\)
Általában az \(a\) kezdeti értékkel és \(r\) közös aránnyal rendelkező mértani sorozat rekurzív definíciója
\begin{equation*}
a_n = a_{n-1}\cdot r; a_0 = a
\end{equation*}
lesz. A következő tag megkapásához az előzőt megszorozzuk \(r\)-rel.
Az általános zárt képlet esetében az ötlet az, hogy elmegyünk a formulával \(a_n\)-ig, és figyeljük meg a mintát. Azaz
\begin{align*}
a_0 \amp = a\\
a_1 \amp = a_0\cdot r\\
a_2 \amp = a_1 \cdot r = a_0\cdot r\cdot r = a_0\cdot r^2\\
a_3 \amp = a_2 \cdot r = a_0 \cdot r^2 \cdot r = a_0 \cdot r^3\\
\amp \vdots\\
a_n \amp = a_{n-1} \cdot r = a_0 \cdot r^{n-1}\cdot r = a_0 r^n\text{.}
\end{align*}
Kapjuk, hogy \(a_n = a\cdot r^{n}\text{.}\)
Mértani sorozatok.
Egy sorozatot mértaninak nevezünk, ha az egymást követő tagok közötti arány állandó. Tegyük fel, hogy a kezdeti \(a_0\) kifejezés \(a\text{,}\) és a közös arány \(r\text{.}\) Ekkor azt kapjuk, hogy,
rekurzív definíció: \(a_n = ra_{n-1}\) és \(a_0 = a\text{.}\)
Zárt alak: \(a_n = a\cdot r^{n}\text{.}\)
Példa 2.1.9.
Keressük meg az alábbi mértani sorozatok rekurzív és zárt képletét. A felsorolt első tag \(a_0\text{.}\)
\(\displaystyle 3, 6, 12, 24, 48, \ldots\)
\(\displaystyle 27, 9, 3, 1, 1/3, \ldots\)
Megoldás.
Kezdjük annak ellenőrzésével, hogy ezek a sorozatok valóban mértaniak-e, azáltal, hogy minden egyes tagot elosztunk az előző taggal. Ha ez az arány valóban állandó, akkor megtaláltuk \(r\) értékét.
\(6/3 = 2\text{,}\) \(12/6 = 2\text{,}\) \(24/12 = 2\text{,}\) stb. Azaz \(r = 2\text{.}\) A rekurzív definíció: \(a_n = 2a_{n-1}\) ahol \(a_0 = 3\text{.}\) A zárt alak pedig: \(a_n = 3\cdot 2^{n}\text{.}\)
A közös hányados értéke \(r = 1/3\text{.}\) A rekurzív képlet itt: \(a_n = \frac{1}{3}a_{n-1}\) ahol \(a_0 = 27\) és a zárt formula: \(a_n = 27\cdot \frac{1}{3}^{n}\text{.}\)
Alpont 2.1.6 Mértani sorozatok összegzése
Tegyük fel, hogy egy édességautomata mértani sorozat szerint adagolja az édességet, először 1 cukorkát, majd 2 cukorkát, aztán 4-et, majd 8-at, és így tovább. Hány cukorkát fogunk kapni összesen a gép 10 adagolása után?
A részletösszegek sorozata: \(1, 1+2, 1+2+4, 1+2+4+8, \ldots\text{,}\) ami a következőket adja
\begin{equation*}
1, 3, 7, 15, 31, 63, \ldots
\end{equation*}
Ez nem egy mértani sorozat, de majdnem az. Valójában, ha minden egyes taghoz hozzáadunk 1-et, akkor egy olyan sorozatot kapunk, ami úgy néz ki, mint a \(2, 4, 8, 16, 32, 64,\ldots\) mértani sorozat, így kitalálhatjuk, hogy az összegek sorozatának zárt alakja \(2^{n+1} - 1\text{.}\) Ha ez helyes, akkor a cukorka kérdésre a válasz \(2^{11}-1 = 2047\text{.}\)
Ennél is érdekesebb azonban az a megfigyelés, hogy egy mértani sorozat részletösszegeinek sorozata ismét "mértani jellegű". Nézzük meg, hogyan találjuk meg egy mértani sorozat összegét általában.
Példa 2.1.10.
Mivel egyenlő \(3 + 6 + 12 + 24 + \cdots + 12288\text{?}\)
Megoldás.
Szorozzunk rá az összegre 2-vel, ami a közös hányados a mértani sorozatunknál. Adódik, hogy \(2S = 6 + 12 + 24 + \cdots + 24576\text{.}\) Most vonjuk ki az eredetit: \(2S - S = -3 + 24576 = 24573\text{.}\) Innen \(2S - S = S\text{,}\) azaz megkaptuk a választ.
Hogy jobban lássuk, mi történt a fenti példában, írjuk le így:
| \(S=\) |
\(3 \, +\) |
\(6 + 12 + 24 + \cdots + 12288\) |
|
| \(- \qquad 2S=\) |
|
\(6 + 12 + 24 + \cdots + 12288\) |
\(+ 24576\) |
| \(-S = \) |
\(3 \, +\) |
\(0 + 0 + 0 + \cdots + 0 \) |
\(-24576\) |
Ezután osszuk el mindkét oldalt \(-1\) -gyel, és ugyanezt az eredményt kapjuk \(S\) -re. Az ötlet az, hogy az összeget megszorozzuk a közös hányadossal, így minden tagból a következő tag lesz. A közös tagok közül a legtöbb kiesik csak az első tag és az új utolsó tag marad.
Példa 2.1.11.
Határozzuk meg a zárt alakját: \(S(n) = 2 + 10 + 50 + \cdots + 2\cdot 5^n\text{.}\)
Megoldás.
A közös hányados 5. Így azt kapjuk, hogy
| \(S\) |
\(= 2 + 10 + 50 + \cdots + 2\cdot 5^n\) |
| \(- \qquad 5S\) |
\(= ~~~~~~10 + 50 + \cdots + 2\cdot 5^n + 2\cdot5^{n+1}\) |
| \(-4S\) |
\(= 2 - 2\cdot5^{n+1}\) |
Azaz \(S = \dfrac{2-2\cdot 5^{n+1}}{-4}.\)
Példa 2.1.12.
Fejezzük ki a \(0.464646\ldots\) számot tört alakban.
Megoldás.
Legyen \(N = 0.46464646\ldots\text{.}\) Tekintsük \(0.01N\)-et. Az adódik, hogy:
| \(N =\) |
\(0.4646464\ldots\) |
| \(- \qquad 0.01N =\) |
\(0.00464646\ldots\) |
| \(0.99N =\) |
\(0.46\) |
Így \(N = \frac{46}{99}\text{.}\)
Alpont 2.1.7 Alkalmazások: egyszerű és kamatos kamat
Általában, ha valaki kölcsönad valakinek pénzt, akkor elvárja, hogy visszakapja a kölcsönadott összeget, plusz valamilyen plusz összeget - legalább annyit, amennyi az infláció kiegyenlítésére elegendő, ha nem többet. Ezt a kölcsön eredeti összegén túlmenően járó további összeget kamatnak nevezzük. Nagyjából a kamat az a díj, amelyet egy bizonyos pénzösszeg kölcsönvételéért fizetnek. A kamatot többféleképpen lehet kiszámítani. Megállapodhatnak egy fix extra összegben, de ami gyakoribb, hogy a kamatot az eredetileg felvett összeg százalékában írják le. Egy példa: Tegyük fel, hogy 3 000 000 forintot kölcsönzöl egy barátodnak, aki egy céget próbál alapítani, és 12%-os kamatot kérsz a kölcsönre. Ez azt jelenti, hogy elvárnád, hogy a közösen meghatározott időszak végén visszafizessék neked az eredeti 3 000 000 forintot, plusz a 3 000 000 forint további 12%-át. (Ezt az időtartamot gyakran a kölcsön „futamidejének” nevezik.) Az Alap százalékos egyenlet segítségével kiszámolhatjuk, hogy 3 000 000 forint 12%-a 360 000 forint. Ezért összesen 3 360 000 forint visszafizetésére számíthatsz, amelyből 3 000 000 az eredeti befektetésed visszafizetése, 360 000 pedig az a díj, amelyet a barátodnak számítasz fel a pénzed kölcsönvételéért.
Egy kölcsön egyszerű kamatot eredményez, ha a teljes kamat a tőkeösszegnek nevezett kezdeti kölcsönösszeg, a kamatlábnak nevezett fix százalék és a futamidőnek nevezett kölcsön hossza szorzatából tevődik össze. Az egyenleg a számlán lévő teljes összeg a futamidő végén, amelynek hossza a \(t\) években kifejezve. A következő képleteket használjuk:
\begin{equation*}
I=Prt \mbox{ és } B=P+I
\end{equation*}
ahol \(I\) a kamat, \(P\) a tőke, \(t\) az idő években, \(r\) a kamatláb (tizedesjegyben), \(B\) pedig az egyenleg, az egyszerű kamatszámítások leírására. Vegyük észre, hogy ezt a két képletet a következő módon kombinálhatjuk, ha a második képletbe \(I=Prt\)-et helyettesítjük, majd a \(P\)-t kiemeljük:
\begin{equation*}
B=P+Prt=P(1+rt).
\end{equation*}
Az előző szakaszban az egyszerű kamatot vizsgáltuk. Bár az egyszerű kamatot viszonylag könnyű kiszámítani, nem az a fajta kamat, amelyet a legtöbb tényleges hitel esetében jellemzően használnak. Ehelyett a legtöbb hitelszámla a kamatos kamat valamilyen formáját használja.
A hitel kamatos kamatot kamatozik, ha az egyenleg kiszámítása ismétlődő egyszerű kamatszámításként történik időszakos ütemezés szerint. A kamatos kamatozású hitel egyenlege a hitel futamidejének függvényében fejezhető ki. Ez a függvény a következő:
\begin{equation*}
B(t)=P(1+rn)^{nt}
\end{equation*}
ahol \(B(t)\) a \(t\) időpontban fennálló egyenleg, \(P\) a tőke, \(r\) a kamatláb, \(n\) a kamatszámítás évi gyakoriságának száma, \(t\) pedig az idő években kifejezve.
Feladatok 2.1.8 Feladatok
1.
2.
