Pont 9.3 L’Hôpital-szabály
Térjünk vissza a határértékekhez és nézzük meg, hogyan használhatjuk a deriváltakat bizonyos határértékek kiszámításának egyszerűsítésére. Tudjuk, hogy ha
\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f(x) = F
\end{equation*}
és
\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}g(x) = G
\end{equation*}
és \(G \ne 0\text{,}\) akkor
\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{F}{G}.
\end{equation*}
A \(G \ne 0\) követelmény itt nagyon fontos.
Definíció 9.3.1. Speciális határértékek.
Legyen \(a \in \mathbb{R}\) és legyenek \(f(x)\) és \(g(x)\) függvények. Ha
\begin{align*}
\lim_{x\to a} f(x) &= 0 & \text{és } &&
\lim_{x\to a} g(x) &= 0
\end{align*}
akkor a
\begin{gather*}
\lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}
\end{gather*}
határértéke \(\frac{0}{0}\) kritikus alakú.
Bizonyos feltételek mellett az ilyen kritikus alakú határértékeket meg tudjuk határozni deriválás segítségével.
Tétel 9.3.2. L’Hôpital-szabály.
Legyen \(a\in\mathbb{R}\) és tegyük fel, hogy
\begin{align*}
\lim_{x\to a}f(x) &= \lim_{x\to a} g(x) = 0
\end{align*}
Ekkor
ha
\(f'(a)\) és
\(g'(a)\) létezik és
\(g'(a)\ne 0\) teljesül, hogy
\begin{align*}
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} &=\frac{f'(a)}{g'(a)},
\end{align*}
míg, ha
\(f'(x)\) és
\(g'(x)\) létezik, és
\(g'(x)\) nem nulla, egy nyílt intervallumban, amely tartalmazza
\(a\)-t, kivéve esetleg
\(a\)-t magát, és ha a határérték
\begin{gather*}
\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \text{ létezik és véges vagy $+\infty$ vagy $-\infty$}
\end{gather*}
akkor
\begin{gather*}
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}
=\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
\end{gather*}
Példa 9.3.3. Alkalmazás: \(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}\).
Tekintsük a korábban már vizsgált határértéket:
\begin{gather*}
\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}
\end{gather*}
Itt tudjuk, hogy
\begin{align*}
\lim_{x\to 0} \sin x &= 0\\
\lim_{x\to 0} x &= 0
\end{align*}
azaz ez egy
\(\frac00\) kritikus alak alkalmazzuk a l’Hôpital-szabályt.
A deriváltak határértékeire lesz szükségünk:
\begin{align*}
f(x)&= \sin x & f'(x) & =\cos x & \text{és} &&
f'(0)=1\\
g(x) &= x & g'(x) & = 1 & \text{és} &&
g'(0)=1
\end{align*}
A l’Hôpital-szabály alapján, kapjuk a korábban már meghatározott értéket:
\begin{align*}
\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} &= \frac{f'(0)}{g'(0)} = \frac{1}{1} = 1.
\end{align*}
Fontos ellenőrizni, hogy alkalmazhatjuk-e az adott határértékre a szabályt! Egy figyelmeztető példa a következő.
