A határértékek tanulmányozását olyan példákkal kezdjük, amelyek bemutatják a kulcsfogalmakat. Ezeket a későbbiekben megfelelően pontosítjuk.
Tekintsük az \(y = \frac{\sin x}{x}\) függvényt. Ha \(x\) közel van az 1-hez, akkor milyen érték (ha van ilyen) van \(y\) közelében?
Bár a kérdésünk nem pontos matematikai értelemben (mi az “1 érték közelében”?), a válasz nem tűnik nehéznek. A függvénynek a grafikonját tekintjük, hogy megsejtsük a megfelelő \(y\) értékeket.
Az \(x\) 1 közeli értékei esetén úgy tűnik, hogy \(y\)\(0.85\) közeli értékeket vesz fel. Valójában, ha \(x=1\text{,}\) akkor \(y=\frac{\sin 1}{1} \approx 0.84\text{,}\) így érthető, hogy ha \(x\) “közel” van 1-hez, akkor \(y\) “közel” \(0.84\) lesz.
Tekintsük ezt újra egy másik \(x\) értékkel. Ha \(x\) közel van 0-hoz, akkor milyen érték (ha van ilyen) van \(y\) közelében?
Láthatjuk, hogy úgy tűnik, hogy \(y\)\(1\) közeli értékeket vesz fel. Mi történik, ha \(x=0\text{?}\)
\begin{equation*}
y \rightarrow \frac{\sin 0}{0} \rightarrow \textit{"} \frac{0}{0}\textit{"}\text{.}
\end{equation*}
A “\(0/0\)” kifejezésnek nincs értéke. Egy ilyen kifejezés nem ad információt arról, hogy mi történik a közelben lévő függvénnyel. Nem tudhatjuk meg, hogyan viselkedik \(y\) az \(x=0\) közelében egyszerűen azzal, hogy behelyetesítjük \(x=0\) értéket, mint korábban. Vezessünk be néhány jelölést. Legyen \(y=f(x)\text{;}\) azaz, legyen \(y\)\(x\) függvénye valamilyen \(f\) függvényre. A “a \(y\) határértéke \(x\) 1 felé közeledve” kifejezés egy számot ad meg, ez most legyen \(L\text{,}\) amelyet \(y\) megközelít, ahogy \(x\) 1 felé közelít. Mindezt úgy írjuk le, hogy
\begin{equation*}
y = (x^2-x-6)/(6x^2-19x+3)
\end{equation*}
függvényt ábrázoljuk egy kicsi, 3-at tartalmazó intervallumon:
Numerikus közelítéshez táblázatot használunk, amelyben \(x\) 3 közeli értékeinél számítjuk ki a függvényt:
Ábra8.1.2.
A grafikon alapján ha \(x\) közel van 3-hoz az \(y\) közel van \(0.3\)-hoz. A táblázatot tekintve \(x\) 3 közeli értékeinél azt látjuk, hogy \(y\approx 0.294\text{.}\) A grafikon és a táblázat alapján:
Mivel a táblázatok és grafikonok csak arra szolgálnak, hogy megközelítsünk egy határértéket, nincs határozott válasz arra, hogy hány adatpont “elégséges.” Vegyünk fel annyi adatot, hogy a tendencia egyértelmű legyen, és használjunk értékeket (ha lehetséges), amelyek kisebbek a kérdéses értéknél, illetve olyanokat is, amelyek nagyobbak.
Határérték nem mindig létezik.
Három gyakori módja van annak, hogy egy határérték nem létezik.
A \(f(x)\) függvény a \(c\) két oldalán különböző értékeket közelíthet. Példa:
Térjünk rá a határérték pontos definiálására, az intuíció adott, jöjjön a matematikai leírás.
Definíció8.1.4.Határérték.
Legyen \(I\) egy nyílt intervallum, amiben benne van \(c\text{,}\) legyen \(f\) egy függvény, ami az \(I\) intervallumon definiált, kivéve esetleg a \(c\) pontban. A határértéke az \(f(x)\) függvénynek ahol \(x\) tart \(c\)-be, egyenlő az \(L\) értékkel, jelölés:
azt jelenti, hogy bármely adott \(\epsilon > 0\) esetén, létezik olyan \(\delta > 0\text{,}\) hogy minden \(x\in I\) esetén, ahol \(x\neq c\text{,}\) ha \(|x - c| \lt \delta\text{,}\) akkor \(|f(x) - L| \lt \epsilon\text{.}\)
Példa8.1.5.Definíció alapján történő határérték számítás.
Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 4} \sqrt{x} = 2\text{.}\)
Megoldás.
Mielőtt a formális definíciót használnánk, próbáljunk ki néhány numerikus számítást. Mi van, ha \(\epsilon=0.5\text{?}\) Milyen közel kell lennie \(x\)-nek a 4-hez ahhoz, hogy \(y 0.5\) egységen belül legyen 2-höz képest, azaz \(1.5 \lt y \lt 2.5\text{?}\) Ebben az esetben a következőképpen járhatunk el:
\begin{align*}
1.5 \amp \lt y \lt 2.5\\
1.5 \amp \lt \sqrt{x} \lt 2.5\\
1.5^2 \amp \lt x \lt 2.5^2\\
2.25 \amp \lt x \lt 6.25\text{.}
\end{align*}
Tehát mi a kívánt \(x\)-hez tartozó \(\delta\) érték? Ne feledjük, hogy egy szimmetrikus intervallumot akarunk találni \(x\) körül, nevezetesen \(4 - \delta \lt x \lt 4 + \delta\text{.}\) A \(2.25\) alsó határ \(1.75\) egységre van 4-től; a 6.25 felső határ 2.25 egységre van 4-től. Szükségünk van a két távolság közül a kisebbre; azaz \(\delta \lt 1.75\) szükséges.
Próbálkozzunk most egy másik \(\epsilon\) értékkel.
Mi történik, ha \(\epsilon =0.01\text{?}\) Milyen közel kell 4-hez lennie \(x\)-nek, hogy \(y\) értékei 0.01 távolságon belül legyenek 2-től (azaz \(1.99 \lt y \lt 2.01\))? Az előző lépéseket követve: \(1.99^2 \lt x \lt 2.01^2\text{,}\) azaz
\begin{equation*}
3.9601 \lt x \lt 4.0401\text{.}
\end{equation*}
Ebben az esetben \(\delta \lt 0.0399\) adódik, ami a 4-től mért távolságok minimuma a fenti értékek esetében.
Vizsgáljuk meg hasonló módon az általános esetet, tetszőleges \(\epsilon\)-hoz keresünk \(\delta\) értékeket:
Mivel \(\epsilon > 0\text{,}\) az adódik, hogy \(\delta \lt 4\epsilon - \epsilon^2\text{.}\)
Felismerve, hogy az \(\epsilon\)-\(\delta\) bizonyítások nehézkesek, a következő részben egy sor olyan tételt adunk meg, amelyeknek a segítségével sokkal gyorsabban és intuitívabban találhatjuk meg a határértékeket.
Tétel8.1.6.Határérték tulajdonságok.
Legyenek \(b\text{,}\)\(c\text{,}\)\(L\) és \(K\) valósak, legyen \(n\) egy pozitív egész, legyenek továbbá \(f\) és \(g\) az \(I\) nyílt intervallumon definiált függvények, ahol \(c\in I.\) Tegyük fel, hogy adottak a következő határértékek:
\begin{equation*}
\lim_{x\to c}f(x) = L \textit{ és \ } \lim_{x\to c} g(x) = K\text{.}
\end{equation*}
\(\displaystyle \lim_{x\to c} \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{p(c)}{q(c)}\text{,}\) ahol \(q(c) \neq 0\text{.}\)
Nem a polinom- és a racionális törtfüggvények az egyetlenek, amelyek ilyen kiszámítható módon viselkednek. A következő tétel felsorolja azokat a függvényeket, amelyek viselkedése különösen "szép" a határértékek szempontjából.
Tétel8.1.8.Speciális határértékek.
Legyen \(c\) egy valós szám az adott függvény értelmezési tartományából és \(n\) egy pozitív egész. Ekkor az alábbiak teljesülnek:
\(\displaystyle \displaystyle \lim_{x\to c} \sin x = \sin c\)
\(\displaystyle \displaystyle \lim_{x\to c} \cos x = \cos c\)
\(\displaystyle \displaystyle \lim_{x\to c} \tan x = \tan c\)
\(\displaystyle \displaystyle \lim_{x\to c} \csc x = \csc c\)
\(\displaystyle \displaystyle \lim_{x\to c} \sec x = \sec c\)
\(\displaystyle \displaystyle \lim_{x\to c} \cot x = \cot c\)
Tegyük fel, hogy vannak \(f, g\) és \(h\) függvényeink, ahol \(g\) mindig \(f\) és \(h\) közötti értékeket vesz fel; azaz minden \(x\)-re egy intervallumon belül
Bizonyos esetekben a határéték kiszámításakor tudunk egyszerűsíteni bizonyos algebrai formulákat felhasználva. Ez sokszor megkönnyíti a számítást, ahogyan majd a példában is látni fogjuk.
Tétel8.1.10.Határérték egyszerűsítéssel.
Legyen \(g(x) = f(x)\) minden \(x\)-re egy nyílt intervallumon, kivéve esetleg a \(c\) pontban. Legyen \(\displaystyle \lim_{x\to c} g(x) = L\) valamilyen valós \(L\) számra. Ekkor
Az \(x=3\) helyettesítéssel “0/0” alakú kifejezést kapunk, ami nem visz el a határértékhez. Azonban ebből tudjuk, hogy a számláló és a nevező is osztható \((x-3)\)-mal:
azt jelenti, hogy bármely \(\epsilon > 0\) esetén, létezik \(\delta > 0\) úgy, hogy \(a\lt x\lt c\text{,}\) ha \(|x - c| \lt \delta\text{,}\) akkor \(|f(x) - L| \lt \epsilon\text{.}\)
Jobb oldali határérték
Legyen \(f\) egy függvény, amely az \((c,b)\) intervallumon definiált valamilyen \(b>c\) esetén és \(L\) egy valós szám.
Az \(f(x)\) jobb oldali határértéke \(c\)-ben \(L\text{,}\) jelölése:
azt jelenti, hogy bármely \(\epsilon > 0\) esetén, létezik \(\delta > 0\) úgy, hogy \(c\lt x\lt b\text{,}\) ha \(|x - c| \lt \delta\text{,}\) akkor \(|f(x) - L| \lt \epsilon\text{.}\)
Ahogyan láttuk bizonyos függvényeknél a határérték kérdése egyszerűbb, más esetekben pedig komplikáltabb. Az alábbi definícióban a könnyebben vizsgálható függvényeket fogjuk össze.
Definíció8.1.13.Folytonos függvények.
Legyen \(f\) egy \(I\) nyílt intervallumon definiált függvény és \(c\in I\text{.}\)
\(f\)folytonos a \(c\) pontban ha \(\displaystyle \lim_{x\to c}f(x) = f(c)\text{.}\)
\(f\) is folytonos az \(I\) intervallumon ha \(f\) folytonos \(c\)-ben minden \(c\in I\) esetén. Ha \(f\) folytonos \((-\infty,\infty)\)-en, akkor azt mondjuk \(f\)mindenhol folytonos.
Folytonos függvények "szépen" viselkednek az alapműveletekre nézve, ezt foglaljuk össze a következő tételben.
Tétel8.1.14.Folytonos függvények tulajdonságai.
Legyenek \(f\) és \(g\) folytonos függvények az \(I\) nyílt intervallumon, legyen \(c\) egy valós szám és \(n\) egy pozitív egész. Az alábbi függvények folytonosak az \(I\) intervallumon.
Összeg/különbség: \(f\pm g\)
Skalárral való szorzás: \(c\cdot f\)
Szorzat: \(f\cdot g\)
Hányados: \(f/g\) { (feltéve, hogy \(g\neq 0\) az \(I\) intervallumon)}
Hatvány: \(f\,^n\)
Gyök: \(\sqrt[n]{f}\) (Ha \(n\) páros, akkor szükséges, hogy \(f(x)\geq 0\) az \(I\) intervallumon.)
Kompozíció : itt az \(f\) és \(g\) megadását megfelelően módosítani szükséges: legyen \(f\) folytonos az \(I\) intervallumon, az \(f\) értékkészlete az \(I\)-n legyen \(J\text{,}\) és legyen \(g\) folytonos a \(J\) intervallumon. Ekkor \(g\circ f\text{,}\) azaz, \(g(f(x))\text{,}\) folytonos az \(I\) intervallumon.
Az előző részekben olyan eseteket vizsgáltunk, amikor a \(\lim_{x\to c}f(x) = L\) határértékben, mind \(c\text{,}\) mind \(L\) számok voltak. A következő részben kissé lazítunk ezen a definíción, és olyan helyzeteket vizsgálunk, amikor megengedjük, hogy \(c\) és/vagy \(L\) “végtelen” legyen.
Motiváló példaként vegyük az \(f(x) = 1/x^2\) függvényt.
Figyeljük meg, hogy amikor \(x\) a 0-hoz közelít, \(f(x)\) nagyon, nagyon nagyra nő. Ezt a korlátlan növekedést jelezhetjük úgy, hogy
Figyeljük meg azt is, hogy amikor \(x\) nagyon nagy lesz, \(f(x)\) nagyon, nagyon kicsi lesz. Ezt a jelenséget olyan jelöléssel is kifejezhetjük, mint például
Legyen \(I\) egy nyitott intervallum, amely tartalmazza \(c\)-t, és legyen \(f\) egy \(I\)-n definiált függvény, kivéve esetleg \(c\)-nél.
Azt mondjuk, hogy az \(f(x) \) határértéke, ahogy \(x\) közelíti \(c\)-t \(\infty\), hogy ha bármely \(N \gt 0\) esetén létezik \(\delta \gt 0\text{,}\) úgy, hogy minden \(x\) esetén az \(I\)-ben, ahol \(x\neq c\text{,}\) ha \(|x - c| \lt \delta\text{,}\) akkor \(f(x) \gt N\text{.}\) Ezt a következőképpen jelöljük:
Azt mondjuk, hogy az \(f(x) \) határértéke, ahogy \(x\) közelíti \(c\)-t \(-\infty\), hogy ha bármely \(N \lt 0\) esetén létezik \(\delta \gt 0\text{,}\) úgy, hogy minden \(x\) esetén az \(I\)-ben, ahol \(x\neq c\text{,}\) ha \(|x - c| \lt \delta\text{,}\) akkor \(f(x) \lt N\text{.}\) Ezt a következőképpen jelöljük:
Legyen \(f\) egy \((a,\infty)\) intervallumon definiált függvény, ahol \(a\) egy szám. Az f függvény határértéke végtelenben \(L\), vagyis \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty} f(x)=L\text{,}\) azt jelenti, hogy minden \(\epsilon \gt 0\) esetén létezik egy \(M \gt a\) szám, úgy, hogy ha \(x \gt M\text{,}\) akkor \(|f(x)-L|\lt \epsilon\text{.}\)
Legyen \(f\) egy \((-\infty,b)\) intervallumon definiált függvény, ahol \(b\) egy szám. Az f függvény határértéke negatív végtelenben \(L\), vagyis \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty} f(x)=L\text{,}\) azt jelenti, hogy minden \(\epsilon \gt 0\) esetén létezik egy \(M\lt b\text{,}\) úgy hogy ha \(x \lt M\text{,}\) akkor \(|f(x)-L|\lt \epsilon\text{.}\)
Konkrét problémák esetében sokszor racionális törtfüggvények határértékeit szükséges meghatároznunk, a következő eredmény az ilyen függvényekre vonatkozó számításokat könnyíti meg.
Tétel8.1.17.Racionális törtfüggvények végtelenben vett határértéke.
Legyen \(f(x)\) egy racionális törtfüggvény a következő formában:
Numerikus közelítéshez táblázatot használunk, amelyben \(x\) 3 közeli értékeinél számítjuk ki a függvényt: 
