Elemi függvények

Pont 7.1 Elemi függvények

Ebben a fejezetben néhány alapvető, nevezetes függvényt fogunk bemutatni, amelyek a gyakorlati problémák esetében is sokszor játszanak fontos szerepet. Beszélünk az előző fejezetekben megismert tulajdonságokról a konkrét függvények esetében, mint monotonitás, konvexitás, paritás, periodicitás, szélsőértékek.

Előjel függvény.

A \(sgn:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) függvény definíciója az alábbi:

\begin{equation*} sgn(x) = \begin{cases} -1 \amp \text{ ha } x\lt 0,\\ 0 \amp \text{ ha } x=0,\\ 1 \amp \text{ ha } x\gt 1\end{cases}. \end{equation*}

A függvény jellemzése:

Paritás: páratlan függvény.
Periodicitás: nem periódikus.
Monotonitás: monoton növekvő.
Korlátosság: a függvény alulról és felülről is korlátos.
Zérushely(ek): \(x=0.\)
Szélsőértékek, szélsőérték helyek: minimum: -1, ezt a negatív számokon fel is veszi, maximum: 1, ezt a pozitív számokon fel is veszi.

Egészrész függvény.

A \([x]:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) függvény definíciója az alábbi: \([x]\) az az egész, amire \(x-1\lt [x]\leq x.\)

A függvény jellemzése:

Periodicitás: nem periódikus.
Monotonitás: monoton növekvő.
Zérushely(ek): \([0,1).\)

Törtrész függvény.

Az egészrész függvény segítségével definiáljuk a \(\{x\}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) függvényt:

\begin{equation*} \{x\}=x-[x]. \end{equation*}

A függvény jellemzése:

Periodicitás: periódikus.
Monotonitás: monoton növekvő (szakaszonként).
Korlátosság: a függvény alulról és felülről is korlátos.
Zérushely(ek): \(x\in\mathbb{Z}.\)

Abszolút érték függvény.

A \(|x|:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) függvény definíciója az alábbi:

\begin{equation*} |x| = \begin{cases} -x \amp \text{ ha } x\lt 0,\\ x \amp \text{ ha } x\geq 0\end{cases}. \end{equation*}

A függvény jellemzése:

Paritás: páros függvény.
Monotonitás: szigorúan monoton csökkenő \((-\infty,0]\) intervallumon, szigorúan monoton növekvő \([0,\infty)\) intervallumon.
Korlátosság: a függvény alulról korlátos.
Zérushely(ek): \(x=0.\)
Szélsőértékek, szélsőérték helyek: minimum: 0, ezt a 0 helyen fel is veszi.

Lineáris függvény.

Az \(y:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) lineáris függvény alakja:

\begin{equation*} y=ax+b, \quad a,b\in\mathbb{R}, a\neq 0. \end{equation*}

A függvény jellemzése:

Paritás: páratlan függvény, ha \(b=0\text{.}\)
Monotonitás: szigorúan monoton csökkenő \(a\lt 0\) esetében, szigorúan monoton növekvő \(a\gt 0\) esetében.
Zérushely(ek): \(x=\frac{-b}{a}.\)

Másodfokú függvény.

Az \(y:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) másodfokú függvény alakja:

\begin{equation*} y=ax^2+bx+c, \quad a,b,c\in\mathbb{R}, a\neq 0. \end{equation*}

Ábra 7.1.7. CataCoding Manim kódjának átdolgozása

CataCoding

A levezetésben látjuk, hogy a

\begin{equation*} P=\left(\frac{-b}{2a},\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right) \end{equation*}

pont fontos szerepet tölt be a függvény esetében, ha \(a\gt 0,\) akkor minimum hely, ha \(a\lt 0,\) akkor maximum hely.

A függvény jellemzése:

Paritás: páros függvény, ha \(b=0\text{.}\)
Monotonitás: szigorúan monoton csökkenő \(a\lt 0, x\in [P,+\infty)\) illetve \(a\gt 0, x\in (-\infty,P]\) esetekben, szigorúan monoton növekvő \(a\lt 0, x\in (-\infty,P]\) illetve \(a\gt 0, x\in [P,+\infty)\) esetekben.
Korlátosság: a függvény alulról korlátos \(a\gt 0\) esetben, felülről korlátos \(a\lt 0\) esetben.
Zérushely(ek): \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.\)
Konvexitás: a függvény konvex \(a\gt 0\) esetben, konkáv \(a\lt 0\) esetben.
Szélsőértékek, szélsőérték helyek: szélsőérték hely az \(P\text{,}\) ami minimum, ha \(a\gt 0\text{,}\) maximum, ha \(a\lt 0.\)

Hatványfüggvény.

Az \(y:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) hatványfüggvény alakja:

\begin{equation*} y=x^n, \quad n\in\mathbb{N}. \end{equation*}

A fenti ábrákon láthatunk pár példát, amelyek azt is mutatják, hogy itt a páros és páratlan kitevős eseteket szükséges megkülönböztetni. A függvény jellemzése:

Paritás: páros függvény, ha \(n\) páros, páratlan, ha \(n\) páratlan.
Monotonitás: szigorúan monoton csökkenő \(x\in (-\infty,0], n\) páros, szigorúan monoton növekvő \(x\in [0,+\infty), n\) páros illetve \(n\) páratlan esetekben.
Korlátosság: a függvény alulról korlátos \(n\) páros esetben
Zérushely(ek): \(x=0.\)
Konvexitás: a függvény konvex \(n\) páros esetben, illetve ha \(n\) páratlan és \(x\gt 0\text{,}\) konkáv \(n\) páratlan esetben, ha \(x\lt 0\text{.}\)
Szélsőértékek, szélsőérték helyek: szélsőérték hely a \(0\text{,}\) ami minimum, ha \(n\) páros.

Törtfüggvény.

Az \(y:\mathbb{R}\setminus\{0\}\rightarrow\mathbb{R}\) törtfüggvény alakja:

\begin{equation*} y=\frac{1}{x^n}, \quad n\in\mathbb{N}. \end{equation*}

A függvény jellemzése:

Paritás: páros függvény, ha \(n\) páros, páratlan, ha \(n\) páratlan.
Monotonitás: szigorúan monoton csökkenő \(x\in (0,+\infty), n\) páros illetve \(x\in (-\infty,0)\cup (0,+\infty), n\) páratlan esetekben, szigorúan monoton növekvő \(x\in (-\infty,0), n\) páros esetben.
Korlátosság: a függvény alulról korlátos \(n\) páros esetben
Konvexitás: a függvény konvex \(n\) páros esetben, illetve ha \(n\) páratlan és \(x\gt 0\text{,}\) konkáv \(n\) páratlan esetben, ha \(x\lt 0\text{.}\)

Gyökfüggvény.

A gyökfüggvény alakja:

\begin{equation*} y=\sqrt[n]{x}, \quad n\in\mathbb{N}. \end{equation*}

Itt az értelmezési tartomány is különbözik a paritások esetén, páros esetben \([0,+\infty),\) páratlan esetben \(\mathbb{R}.\)

A függvény jellemzése:

Paritás: páratlan, ha \(n\) páratlan.
Monotonitás: szigorúan monoton növekvő az értelmezési tartományban.
Korlátosság: a függvény alulról korlátos \(n\) páros esetben
Zérushely(ek): \(x=0.\)
Konvexitás: a függvény konvex \(n\) páratlan esetben a \((-\infty,0)\) intervallumon, konkáv \(n\) páros esetben, illetve páratlan esetben, ha \(x\gt 0\text{.}\)

Exponenciális függvény.

Az \(y:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) exponenciális függvény alakja:

\begin{equation*} y=a^x, \quad a\in (0,+\infty). \end{equation*}

A függvény jellemzése:

Monotonitás: szigorúan monoton növekvő \(a\gt 1\) esetben, szigorúan monoton csökkenő \(0\lt a\lt 1\) esetben.
Korlátosság: a függvény alulról korlátos.
Konvexitás: a függvény konvex.

Logaritmusfüggvény.

Az \(y:\mathbb{R}_{>0}\rightarrow\mathbb{R}\) logaritmusfüggvény alakja:

\begin{equation*} y=\log_a(x), \quad a\in (0,+\infty). \end{equation*}

A függvény jellemzése:

Monotonitás: szigorúan monoton növekvő \(a\gt 1\) esetben, szigorúan monoton csökkenő \(0\lt a\lt 1\) esetben.
Konvexitás: a függvény konvex, ha \(0\lt a \lt 1\text{,}\) konkáv, ha \(a\gt 1.\)

Az exponenciális és logaritmusfüggvények esetben van egy fontos speciális eset, amikor

\begin{equation*} a=e\approx 2.718281828459. \end{equation*}

Ezt természetes alapú exponenciális, illetve természetes alapú logaritmus függvénynek nevezzük. Előbbi jelölése \(e^x,\) az utóbbié pedig \(\ln(x).\)

Trigonometrikus függvények.

El.Top Köv.