Integrálszámítás alapjai

Pont 12.1 Integrálszámítás alapjai

Az előző fejezetekben egy függvény deriváltjának meghatározásával és különféle deriválási szabályokkal is megismerkedtünk. Például láttuk, hogy \((x^2)'=2x.\) Most a kérdést másképpen tesszük fel: melyik az a függvény, amelynek \(2x\) a deriváltja. Itt érdemes kicsit elgondolkodni, addig rendben is vagyunk, hogy az előzőekben említett \(x^2\) megfelelő. Van-e más ilyen függvény is? Kicsit tovább gondolkodva, felelevenítve a deriválási szabályokat kapjuk, hogy \(f(x)=x^2+c\) esetében, ahol \(c\) egy konstans, igaz, hogy

\begin{equation*} f'(x)=2x. \end{equation*}

Ezek alapján egy adott függvény esetében ezt mindig el tudjuk végezni, ha találunk egy megfelelő függvényt, akkor egy konstans értéket hozzáadva még mindig megfelelő marad. A következő definícióban erre vezetünk be egy új fogalmat.

Definíció 12.1.1. Primitív függvény és határozatlan integrál.

Letgyen adott egy \(f(x)\) függvény. Az \(f(x)\) primitív függvénye egy olyan \(F(x)\) függvény, amelyre \(F'(x) = f(x)\text{.}\)

Az \(f(x)\) primitív függvényeinek halmaza az \(f\) határozatlan integrálja, ennek jelölése:

\begin{equation*} \int f(x) \,dx\text{.} \end{equation*}

Példa 12.1.2. Határozatlan integrál.

Mivel egyenlő \(\int\left(3x^2 + 4x+5\right)\,dx\text{?}\)

Megoldás.

Olyan \(F(x)\) függvényt keresünk, aminek deriváltja \(3x^2+4x+5\text{.}\) Deriválásnál tagonként haladhatunk, így ezt az ötletet próbáljuk követni itt is.

Melyik függvény deriváltja \(3x^2\text{?}\) A polinomos kifejezésekre gondolva kapjuk, hogy \(x^3+C_1\text{,}\) ahol \(C_1\) egy konstans.

Mi a helyzet a \(4x\) függvénnyel? Ez egy másodfokú kifejezésből érkezhet: \(2x^2+C_2\text{,}\) ahol \(C_2\) szintén egy konstans.

Végül melyik függvény deriváltja az \(5\text{?}\) Ez egy lineáris kifejezés lesz: \(5x+C_3\text{,}\) ahol \(C_3\) egy konstans.

A válaszunk tehát

\begin{equation*} \int\left(3x^2+4x+5\right)\,dx = x^3+C_1+2x^2+C_2+5x+C_3\text{.} \end{equation*}

Természetesen fölösleges 3 különböző konstanst használnunk, helyette bevezethetünk egyet:

\begin{equation*} \int\left(3x^2+4x+5\right)\,dx = x^3+2x^2+5x+C\text{.} \end{equation*}

Érdemes ellenőrizni a választ. Deriváljuk az \(x^3+2x^2+5x+C\) kifejezést: \(3x^2+4x+5\text{,}\) pontosan a kiindulási függvényünk.

Tétel 12.1.3. Deriválási szabályok és primitív függvények.

Az alábbiakban összegyűjtöttünk deriválási szabályokat és a hozzájuk kapcsolódó primitív függvényes kifejezéseket.

\begin{align*} \amp\lzoo{x}{cf(x)}=c\cdot\fp(x)\amp\amp\int c\cdot f(x)\,dx= c\cdot \int f(x)\,dx\\ \amp\lzoo{x}{f(x)\pm g(x)} =\fp(x)\pm g'(x)\amp\amp \int \big(f(x)\pm g(x)\big)\,dx =\int f(x)\,dx\pm \int g(x)\,dx\\ \amp\lzoo{x}{C} = 0\amp\amp \int 0\,dx = C\\ \amp\lzoo{x}{x} = 1\amp\amp \int 1\,dx = \int dx = x+C\\ \amp\lzoo{x}{x^n} = n\cdot x^{n-1}\amp\amp \int x^n\,dx =\frac{1}{n+1}x^{n+1}+ C\quad(n\neq -1)\\ \amp\lzoo{x}{\sin(x)} = \cos(x)\amp\amp \int \cos(x) \,dx = \sin(x) +C\\ \amp\lzoo{x}{\cos(x)} = -\sin(x)\amp\amp \int \sin(x) \,dx = -\cos(x) +C\\ \amp\lzoo{x}{e^ x} = e^x\amp\amp \int e^x\,dx = e^x+C\\ \amp\lzoo{x}{a^x} = \ln(a) \cdot a^x\amp\amp \int a^x\,dx = \frac{1}{\ln(a) }\cdot a^x+C\\ \amp\lzoo{x}{\ln(x)} = \frac1 x,\ x \gt 0\amp\amp \int \frac{1}x\,dx = \ln\abs{x}+C \end{align*}

El.Top Köv.