Pont 4.3 Sajátértékek és sajátvektorok
Legyen a kiindulópontunk az alábbi \(\tta\) mátrix és \(\vx\) vektor.
\begin{equation*}
\tta = \bbm 1 \amp 4\\2 \amp 3\ebm \quad \quad \vx = \bbm 1\\1\ebm\text{.}
\end{equation*}
Ekkor az \(\tta\vx\) szorzat:
\begin{align*}
\tta\vx \amp = \bbm 1 \amp 4\\2\amp 3\ebm \bbm 1\\1\ebm\\
\amp = \bbm 5\\5\ebm\\
\amp = 5\bbm 1\\1\ebm\text{!}
\end{align*}
Úgy tűnik az \(\tta\vx\) megegyezik \(5\vx\) értékével! Ez elgondolkodtató: vajon ez az egyetlen eset, amikor ilyesmi történik? (Valószínűleg nem.) Vajon \(\tta\) valahogyan egy speciális mátrix, és \(\tta\vx = 5\vx\) bármilyen \(\vx\) vektorra, amit kiválasztunk? (Valószínűleg nem.) Vagy talán \(\vx\) egy speciális vektor volt, és mindegy, hogy milyen \(2\times 2\) mátrixot \(\tta\) választunk, akkor is \(\tta\vx =5\vx\) lenne. (Szintén nem valószínű.)
A valószínűbb magyarázat a következő: az \(\tta\) mátrixot tekintve az 5-ös szám és a \(\vx\) vektor egy különleges párost alkotott, amely történetesen szépen működik együtt. Ezután természetes, hogy elgondolkodunk azon, vajon léteznek-e más különleges párok is. Találhatunk-e például olyan \(\vx\) vektort, ahol \(\tta\vx=3\vx\text{?}\)
Definíció 4.3.1. Sajátértékek és sajátvektorok.
Legyen \(\tta\) egy \(n\times n\)-es mátrix, \(\vx\) egy nem nulla \(n\times 1\)-es oszlopvektor és \(\lambda\) egy skalár. Ha
\begin{equation*}
\tta\vx = \lda\vx,
\end{equation*}
akkor \(\vx\) egy sajátvektora az \(\tta\) mátrixnak és \(\lambda\) pedig sajátértéke az \(\tta\)-nak.
Adott egy négyzetes mátrix \(\tta\text{,}\) Olyan nem nulla \(\vx\) vektort és \(\lda\) skalárt szeretnénk meghatározni, amelyekre: \(\tta\vx = \lda\vx\text{.}\) Alkalmazzuk az egyenletrendszereknél tanultakat:
\begin{align*}
\tta\vx \amp = \lda\vx \quad \text{ (eredeti egyenlet)}\\
\tta\vx - \lda\vx \amp = \zero \quad \text{ (kivonunk) } \lda\vx \text{ mindkét oldalból )}\\
(\tta-\lda\tti)\vx \amp = \zero \quad \text{ ("faktorizálunk") } \vx)\text{.}
\end{align*}
Ezen a "faktorizáción" gondolkodjunk el egy kicsit, természetes ötlet átírni a fenti egyenlőséget az alábbi módon:
\begin{equation*}
\tta\vx-\lda\vx = (\tta-\lda)\vx\text{,}
\end{equation*}
de ennek nem igazán van értelme. Hogyan értelmezzük “a mátrix mínusz egy szám” kifejezést? Ezt a problémát az egységmátrix segítségével tudjuk áthidalni.
Adott az \((\tta-\lda\tti)\vx=\zero\) egyenlet. Amit meg szeretnénk oldani az: \(\ttb\vx=\zero\text{,}\) ahol \(\ttb = (\tta-\lda\tti)\text{.}\)
Tudjuk korábbról, hogy ennek a típusú egyenletnek mindig van megoldása, nevezetesen, \(\vx = \zero\text{.}\) (Emlékezzünk, hogy ez egy homogén egyenletrendszer.) Azonban azt szeretnénk, ha \(\vx\) egy sajátvektor lenne, és a definíció szerint a sajátvektorok nem lehetnek \(\zero\text{.}\)
Ez azt jelenti, hogy olyan megoldásokat keresünk a \((\tta-\lda\tti)\vx=\zero\) egyenletre, amelyekre: \(\vx=\zero\text{.}\) Ne feledjük, hogy ha a \((\tta-\lda\tti)\) mátrix invertálható, akkor az egyetlen megoldás a \((\tta-\lda\tti)\vx=\zero\) egyenletre: \(\vx=\zero\text{.}\) Ezért ahhoz, hogy más megoldásaink legyenek, szükség van arra, hogy a \((\tta-\lda\tti)\) ne legyen invertálható.
A nem invertálható mátrixok esetében tudjuk, hogy a determináns 0. Azaz, sajátértékek és sajátvektorok meghatározásakor tekintjük a \(\det(\tta-\lda\tti) = 0\) egyenletet.
Példa 4.3.2. Sajátértékek kiszámítása.
Határozzuk meg az \(\tta\) sajátértékeit, azaz, olyan értékeket, amelyekre \(\det(\tta-\lda\tti) = 0\text{,}\) ahol
\begin{equation*}
\tta = \bbm 1 \amp 4\\2 \amp 3\ebm\text{.}
\end{equation*}
Megoldás.
Ekkor \(\tta-\lda\tti\text{:}\)
\begin{align*}
\tta-\lda\tti \amp = \bbm 1\amp 4\\2\amp 3\ebm - \lda\eyetwo\\
\amp = \bbm 1\amp 4\\2\amp 3\ebm - \bbm\lda\amp 0\\0\amp \lda\ebm\\
\amp = \bbm 1-\lda \amp 4 \\ 2\amp 3-\lda\ebm\text{.}
\end{align*}
Kapjuk, hogy
\begin{align*}
\det(\tta-\lda\tti) \amp = \bvm 1-\lda \amp 4 \\ 2\amp 3-\lda\evm\\
\amp = (1-\lda)(3-\lda)-8\\
\amp = \lda^2-4\lda-5\text{.}
\end{align*}
Egy egyszerű másodfokú egyenletre vezet a probléma: \(\lda^2-4\lda-5=0\text{.}\) Ezt valamilyen ismert módszert követve megoldjuk, pl. itt most faktorizálunk:
\begin{align*}
\lda^2-4\lda-5 \amp = 0\\
(\lda-5)(\lda+1) \amp = 0\\
\lda \amp = -1,\ 5\text{.}
\end{align*}
A fentiek alapján, \(\det(\tta-\lda\tti)=0\) megoldásai: \(\lda = -1,\ 5\text{.}\) Azaz az \(\tta\) mátrix sajátértékei: \(-1\) és \(5\text{.}\)
Az \(\tta\) mátrix sajátértékeinek meghatározási módszere arra redukálódik, hogy megállapítsuk, mely \(\lambda\) értékek esetén lesz az \((\tta - \lambda\tti)\) mátrix determinánsa 0. A \(\det(\tta-\lambda\tti)\) kiszámítása során egy \(\lambda\) változóra vonatkozó polinomot kapunk, amelynek gyökei az \(\tta\) sajátértékei. Ez a polinom fontos, ezért saját nevet kapott.
Definíció 4.3.3. Karakterisztikus polinom.
Legyen \(\tta\) egy \(n\times n\)-es mátrix. Az \(\tta\) karakterisztikus polinomja egy \(n\)-ed fokú polinom: \(p(\lambda) = \det(\tta-\lambda\tti)\text{.}\)
Legyen \(\tta\) egy \(n\times n\)-es mátrix.
Az \(\tta\) sajátértékeinek kiszámításához meghatározzuk a \(p(\lambda)\) polinomot, amelynek a gyökei lesznek a sajátértékek
Az \(\tta\) sajátvektorainak meghatározásához minden sajátértékre megoldjuk az \((\tta-\lambda\tti)\vx = \zero\) homogén lineáris egyenletrendszert.
Példa 4.3.4. Sajátértékek és sajátvektorok kiszámítása.
Határozzuk meg az \(\tta\) sajátértékeit és minden sajátértékhez sajátvektort, ahol
\begin{equation*}
\tta = \bbm-3 \amp 15\\3 \amp 9\ebm\text{.}
\end{equation*}
Megoldás.
A sajátértékekhez ki kell számolnunk a \(\det(\tta-\lambda\tti)\) kifejezést.
\begin{align*}
\det(\tta-\lambda\tti) \amp = \bvm -3-\lambda \amp 15\\3 \amp 9-\lambda\evm\\
\amp = (-3-\lambda)(9-\lambda)-45\\
\amp = \lambda^2-6\lambda-27-4\\
\amp = \lambda^2-6\lambda-72\\
\amp = (\lambda-12)(\lambda+6)\text{.}
\end{align*}
Azaz, \(\det(\tta-\lambda\tti) = 0\) ha \(\lambda = -6\) és \(12\text{;}\) ezek a sajátértékeink. (A \(p(\lambda) =\lambda^2-6\lambda-72\) pedig a karakterisztikus polinom.)
Jelöljük ezeket az értékeket: \(\lambda_1 = -6\) és \(\lambda_2 = 12\text{.}\) Jöhetnek a sajátvektorok.
A \(\lambda_1=-6\) esetében a rendszerünk: \((\tta - (-6)\tti)\vx = \zero\text{.}\) Redukáljuk a rendszerünket:
\begin{equation*}
\bbm 3 \amp 15 \amp 0\\3\amp 15\amp 0\ebm \quad\quad\overrightarrow{\text{rref}}\quad\quad \bbm 1\amp 5\amp 0\\0\amp 0\amp 0\ebm\text{.}
\end{equation*}
A megoldás:
\begin{align*}
x_1 \amp = -5t\\
x_2 \amp = t \quad \text{ szabad változó}\text{;}
\end{align*}
vagy vektoros alakban:
\begin{equation*}
\vx = t\bbm-5\\1\ebm\text{.}
\end{equation*}
Konkrét sajátvektort \(t\) rögzítésével nyerhetünk; például \(t = 1\text{.}\) Ekkor a sajátvektor:
\begin{equation*}
\vx[1] = \bbm-5\\1\ebm\text{.}
\end{equation*}
Jöhet a másik sajátérték: \(\lambda_2 = 12\text{.}\) A rendszer most: \((\tta - 12\tti)\vx = \zero\text{,}\) itt is redukálunk:
\begin{equation*}
\bbm-15 \amp 15 \amp 0 \\ 3 \amp -3 \amp 0 \ebm \quad\quad\overrightarrow{\text{rref}}\quad\quad \bbm 1\amp -1\amp 0\\0\amp 0\amp 0\ebm\text{.}
\end{equation*}
Vektoros alakban:
\begin{equation*}
\vx = t\bbm 1\\1\ebm\text{.}
\end{equation*}
Szintén rögzítjük \(t\) értékét egy konkrét sajátvektor meghatározása céljából, legyen \(t = 1\text{.}\) Ekkor a \(\lambda_2\)-höz tartozó egyik sajátvektor:
\begin{equation*}
\vx[2] = \bbm 1\\1\ebm\text{.}
\end{equation*}
Összegezve:
\begin{equation*}
\text{sajátérték: } \lambda_1 = -6 \text{ sajátvektor: } \vx[1] = \bbm-5\\1\ebm
\end{equation*}
and
\begin{equation*}
\text{sajátérték: } \lambda_2 = 12 \text{ sajátvektor: } \vx[2] = \bbm 1\\1\ebm\text{.}
\end{equation*}
Egy ellenőrzés a végére: valóban \(\tta\vx[1] = \lambda_1\vx[1]\text{?}\)
\begin{equation*}
\tta\vx[1] = \bbm-3\amp 15\\3\amp 9\ebm\bbm-5\\1\ebm
= \bbm 30\\-6\ebm
= (-6)\bbm -5\\1\ebm
= \lambda_1\vx[1]\text{.}
\end{equation*}
Úgy tűnik helyesen számoltunk.
