Pont 1.2 Hasznos jelölések
Speciális halmazok.
- \(\emptyset\)
Az üres halmaz az a halmaz, amely nem tartalmaz elemeket.
- \(\U\)
Az univerzális halmaz az összes elem halmaza (konkrét probléma esetén).
- \(\N\)
A természetes számok halmaza. Vagyis, \(\N =
\{1, 2, 3\ldots\}\text{.}\)
- \(\Z\)
A egész számok halmaza. Vagyis, \(\Z = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}\text{.}\)
- \(\Q\)
A racionális számok halmaza.
- \(\R\)
A valós számok halmaza.
- \(\pow(A)\)
Bármely \(A\) halmaz hatványhalmaza az \(A\) összes részhalmazának halmaza.
Halmazelméleti jelölések.
- \(\{, \}\)
- Ezeket a kapcsos zárójeleket használjuk a halmaz elemeinek körülhatárolására. Tehát \(\{1,2,3\}\) az 1, 2 és 3 elemeket tartalmazó halmaz.
- \(\st\)
- \(\{x \st x > 2\}\) az összes \(x\) halmaza, amelyek \(x\) nagyobb mint 2.
- \(\in\)
- \(2 \in \{1,2,3\}\) azt jelenti, hogy 2 a \(\{1,2,3\}\) halmaz eleme.
- \(\not\in\)
- \(4 \notin \{1,2,3\}\) mert 4 nem eleme a \(\{1,2,3\}\) halmaznak.
- \(\subseteq\)
- \(A \subseteq B\) azt jelenti, hogy \(A\) a \(B\) részhalmaza: \(A\) minden eleme egyben \(B\) eleme is.
- \(\subset\)
- \(A \subset B\) azt jelenti, hogy \(A\) a \(B\) megfelelő részhalmaza: \(A\) minden eleme \(B\) eleme, de \(A \ne B\text{.}\)
- \(\cap\)
- \(A \cap B\) a \(A\) és \(B\) metszete: az a halmaz, amely tartalmazza az összes elemet, amely mind \(A\text{,}\) mind \(B\) eleme.
- \(\cup\)
- \(A \cup B\) a \(A\) és \(B\) uniója: az a halmaz, amely tartalmazza az összes elemet, amely \(A\) vagy \(B\) eleme, vagy mindkettőé.
- \(\times\)
- \(A \times B\) a Descartes szorzat \(A\) és \(B\) között: az összes rendezett pár \((a,b)\text{,}\) ahol \(a \in A\) és \(b \in B\text{.}\)
- \(\setminus\)
- \(A \setminus B\) az \(A\) halmazelméleti mínusz (differencia)\(B\): az \(A\) halmaz összes olyan elemét tartalmazza, amely nem eleme \(B\)-nek.
- \(\bar{A}\)
- A \(A\) komplementere az összes olyan elem halmaza, amely nem eleme \(A\)-nak.
- \(\card{A}\)
- A \(A\) számossága az \(A\) halmaz elemeinek száma (véges halmazoknál).
Ebben a szakaszban bemutatjuk az összegzési jelölést (szumma) és a szorzatjelölést (produktum), amelyeket később használni fogunk. A \(\sum\) speciális szimbólumot az összegek jelölésére használjuk. Tekintsünk meg egy példát:
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^5 k=1+2+3+4+5\text{.}
\end{equation*}
Még általánosabban
\begin{equation*}
\sum_{k=m}^n k=m+(m+1)+\ldots+(n-1)+n\text{.}
\end{equation*}
Itt \(m\) az összegzés alsó határa, míg \(n\) az összegzés felső határa. Vannak más lehetőségek is az előző összeg kifejezésére, például:
\begin{align*}
\amp \sum_{m\leq k\leq n}k,\\
\amp \sum_{k\in S}k, \mbox{ ahol } S=\halmaz{m,m+1,\ldots,n}\text{.}
\end{align*}
Fontos megjegyezni, hogy az összegzésben használt változó önkényes. Vagyis az alábbi összegzések értékei egyenlőek:
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^3 k^2=1^2+2^2+3^2=14
\end{equation*}
and
\begin{equation*}
\sum_{m=1}^3 m^2=1^2+2^2+3^2=14\text{.}
\end{equation*}
Néhány további összegzési példa:
(a)
\begin{equation*}
\sum_{i=2}^6 (2-i)=(2-2)+(3-2)+(4-2)+(5-2)+(6-2)=10\text{,}
\end{equation*}
(b)
\begin{equation*}
\sum_{j=3}^5 2^{j-2}=2^{3-2}+2^{4-2}+2^{5-2}=14\text{,}
\end{equation*}
(c)
\begin{equation*}
\sum_{1\leq i,j\leq 2} ij= (1\cdot 1)+(1\cdot 2)+(2\cdot 1)+(2\cdot 2)=9\text{.}
\end{equation*}
Most a matematikai kifejezések szorzataival foglalkozunk. A használt szimbólum ebben az esetben \(\prod\text{.}\) A szorzat jelölése nagyon hasonló a szumma jelöléshez, így könnyen megtanulható a használata. Az első példa a szumma jelölés esetében a következő volt:
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^5 k=1+2+3+4+5\text{.}
\end{equation*}
Ha a \(\sum\) szimbólumot \(\prod\) szimbólumra cseréljük, akkor a következőt kapjuk:
\begin{equation*}
\prod_{k=1}^5 k=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\text{.}
\end{equation*}
Vizsgáljuk meg az \(m\) és \(n\) közötti egész számok szorzatát, ahol \(m\lt n\text{.}\) Különböző formákban írhatjuk fel szorzat jelöléssel:
\begin{align*}
\amp \prod_{k=m}^n k,\\
\amp \prod_{m\leq k\leq n}k,\\
\amp \prod_{k\in S}k, \mbox{ ahol } S=\halmaz{m,m+1,\ldots,n}\text{.}
\end{align*}
Előfordulhat, hogy az összeget vagy a szorzatot az üres halmazon kell értékelni. Definíció szerint, ilyen helyzetekben az összeg mindig 0, a szorzat pedig mindig 1, pl.
\begin{align*}
\sum_{k \in \emptyset} k \amp = 0,\\
\prod_{k \in \emptyset} k \amp = 1\text{.}
\end{align*}
Ha \(S\) és \(T\) diszjunkt halmazok, akkor
\begin{gather*}
\sum_{k \in S} k + \sum_{k \in T} k = \sum_{k \in S \cup T} k,\\
\prod_{k \in S} k \cdot \prod_{k \in T} k = \prod_{k \in S \cup T} k\text{.}
\end{gather*}
Vegye figyelembe, hogy ez akkor is igaz, ha \(S\) vagy \(T\) üres halmaz. (Ez az fő oka annak, hogy az üres összeget 0-nak, az üres szorzatot pedig 1-nek definiáljuk.)
Van egy különleges jelölés a pozitív egész számok szorzatára \(n\)-ig
\begin{equation*}
S_n = \halmazvonal{k}{k \text{ pozitív egész } , k\leq n} = \halmaz{1, 2, \dots , n}\text{.}
\end{equation*}
Az \(S_n\) elemeinek szorzatát \(n\) faktoriálisnak nevezzük, jelölése: \(n!\text{,}\) that is,
\begin{equation*}
n! = \prod_{k \in S_n} k = \prod_{k=1}^n k = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot (n-1) \cdot n\text{.}
\end{equation*}
Definiálhatjuk \(0!\) értékét is, ez az \(S_0\) elemeinek szorzata:
\begin{equation*}
0! = \prod_{k \in S_0} k = \prod_{k \in \emptyset} k = 1\text{.}
\end{equation*}
A műveleti sorrendre figyelni kell, ahogyan az alábbi példákban látjuk.
\begin{align*}
2+3! \amp = 2 + 1\cdot 2 \cdot 3 = 2 + 6 = 8,\\
(2+3)! \amp = 5! = 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120\text{.}
\end{align*}
Feladatok Feladatok
1.
Írjuk ki a szummákat!
(a) \(\sum_{i=4}^7 i\text{,}\)
(b) \(\sum_{i=1}^5 (i^2-i)\text{,}\)
(c) \(\sum_{i=1}^4 10^i\text{,}\)
(d) \(\sum_{2\leq i\leq 5} \frac{1}{2^i}\text{,}\)
(e) \(\sum_{i\in S} (-1)^i\text{,}\) ahol \(S=\halmaz{2,3,5,8}\text{.}\)
2.
Használjuk a szumma jelölést!
(a) \(2+4+6+8+10\text{,}\)
(b) \(1+4+7+10\text{,}\)
(c) \(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1+2+4\text{,}\)
(d) \(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+1-2+4\text{.}\)
3.
Írjuk ki a produktumokat!
(a) \(\prod_{i=-4}^{-1} i\text{,}\)
(b) \(\prod_{i=1}^4 (i^2)\text{,}\)
(c) \(\prod_{i=1}^3 2^i\text{,}\)
(d) \(\prod_{-2\leq i\leq 3} \frac{1}{2^i}\text{,}\)
(e) \(\prod_{i\in S} (-1)^i\text{,}\) ahol \(S=\halmaz{2,4,6,7}\text{.}\)
4.
Használjuk a produktum jelölést!
(a) \(1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\text{,}\)
(b) \((-1)\cdot 2\cdot 5\cdot 8\text{,}\)
(c) \(\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{3}\cdot 1\cdot 3\cdot 9\text{.}\)
5.
Számítsa ki a \(n!\) értékét minden \(n \in \halmaz{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}\) esetén.
6.
Határozzuk meg az alábbi kifejezések értékét!
\begin{align*}
\amp 5+3!\\
\amp (5+3)!\\
\amp 4-2\cdot 3!\\
\amp (4-2)\cdot 3!\\
\amp 4 - (2 \cdot 3)!\\
\amp 3 \cdot 2!\\
\amp (3 \cdot 2)!\\
\amp 4 \cdot 3!\\
\amp 4! \cdot 5\text{.}
\end{align*}
7.
Bizonyítsa be, hogy \(n! = n \cdot (n-1)!\) minden pozitív egész számra \(n\text{.}\) Vegye figyelembe, hogy ez még \(n=1\) esetén is igaz, ami az egyik oka annak, hogy a \(0!\)-t 1-nek definiáljuk.
