Lineáris függvényekkel, másodfokú egyenletekkel már korábban találkozhattunk. Ezek a leképezések egy nagy csoportba tartoznak, amit polinomoknak nevezünk. Például az alábbi kifejezések:
\begin{align*}
p(x) & = x^3 -3x +2\\
q(x) & = 3x^2 -6x +5\text{,}
\end{align*}
és elég jó elképzelésünk van arról mi lehet \(p(x) + q(x)\) és \(p(x) q(x)\text{.}\) Összeadjuk és összeszorozzuk a kifejezéseket:
\begin{align*}
(p +q)(x) & = p(x) + q(x)\\
& = ( x^3 - 3 x + 2 ) + ( 3 x^2 - 6 x + 5 )\\
& = x^3 + 3 x^2 - 9 x + 7
\end{align*}
és
\begin{align*}
(p q)(x) & = p(x) q(x)\\
& = ( x^3 - 3 x + 2 ) ( 3 x^2 - 6 x + 5 )\\
& = 3 x^5 - 6 x^4 - 4 x^3 + 24 x^2 - 27 x + 10\text{.}
\end{align*}
Polinomokat tekinthetünk különféle algebrai struktúrák felett, mi leginkább a valós számok feletti polinomokkal foglalkozunk a továbbiakban. A bevezető részben \(R\) jelöljön egy ilyen struktúrát. Legyen
\begin{equation*}
f(x) = \sum^{n}_{i=0} a_i x^i = a_0 + a_1 x +a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n\text{,}
\end{equation*}
ahol \(a_i \in R\) és \(a_n \neq 0\text{.}\) Egy ilyen kifejezést \(R\) feletti polinomnak nevezünk az \(x\) változóban. Az \(a_0, a_1, \ldots,
a_n\) elemeket a polinom együtthatóinak hívjuk. Ha \(n\) a legnagyobb érték, amire \(a_n \neq 0\text{,}\) akkor azt mondjuk, hogy a polinom fokszáma \(n\) és ezt úgy jelöljük, hogy \(\deg f(x) = n\text{.}\) Két polinom pontosan akkor egyenlő, ha minden együtthatójuk megegyezik, azaz, ha
\begin{align*}
p(x) & = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\\
q(x) & = b_0 + b_1 x + \cdots + b_m x^m\text{,}
\end{align*}
akkor \(p(x) = q(x)\) pontosan akkor, ha \(a_i = b_i\) minden \(i \geq 0\text{.}\) Most definiáljuk két polinom összegét és szorzatát. Legyen
\begin{align*}
p(x) & = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\\
q(x) & = b_0 + b_1 x + \cdots + b_m x^m\text{.}
\end{align*}
Ekkor \(p(x)\) és \(q(x)\) összege:
\begin{equation*}
p(x) + q(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_k x^k\text{,}
\end{equation*}
ahol \(c_i = a_i + b_i\) minden \(i\)-re. A \(p(x)\) és \(q(x)\) szorzata pedig:
\begin{equation*}
p(x) q(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_{m + n} x^{m + n}\text{,}
\end{equation*}
ahol
\begin{equation*}
c_i = \sum_{k = 0}^i a_k b_{i - k} = a_0 b_i + a_1 b_{i -1} + \cdots + a_{i -1} b _1 + a_i b_0
\end{equation*}
minden \(i\)-re. Polinomok helyettesítési értékeit kiszámíthatjuk direkt módon, például \(P(x)=x^2+3x-5\) esetén
\begin{equation*}
P(3)=3^2+3\cdot 3 -5=9+9-5=13.
\end{equation*}
Komplikáltabb kifejezések esetében ez már nem túl hatékony, érdemesebb lehet használni a polinomok speciális alakját kihasználó úgynevezett Horner-elrendezést.
Horner-elrendezés.
Legyen
\begin{equation*}
P(x) = \sum^{n}_{i=0} a_i x^i = a_0 + a_1 x +a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n\text{,}
\end{equation*}
és ki szeretnénk számolni \(P(x_0)\) értékét valamilyen konkrét \(x_0\) helyen. Ekkor megadunk egy \(b_n\) sorozatot az alábbi módon:
\begin{equation*}
b_n=a_n, \quad b_k=a_k+b_{k+1}x_0, \mbox{ ahol } k=(n-1), (n-2), \ldots, 2,1,0.
\end{equation*}
A keresett helyettesítési érték \(P(x_0)=b_0\text{.}\) A számolásunk adaléka, hogy megkapjuk a polinom maradékos osztását is:
\begin{equation*}
P(x)= (x-x_0)Q(x) + b_0
\end{equation*}
alakban, ahol \(Q(x)=b_nx^{n-1}+b_{n-1}x^{n-2}+\ldots+b_2x+b_1.\)
A számoláshoz érdemes az adatokat táblázatba rendezni, figyeljünk arra, hogy a polinom megadása esetén nem szoktuk feltüntetni a
\(0\cdot x^k\) alakú tényezőket, az elrendezésben viszont a polinom minden együtthatójának szerepelnie kell.
Példa 5.2.1. Horner-elrendezés példa.
Legyen
\(P(x)=x^4-15x^2-10x+24\text{.}\) Mivel egyenlő
\(P(1)\text{?}\) A táblázat alapján kapjuk, hogy
