Pont 4.4 Lineáris modell, egyszerű regresszió
Bizonyos gyakorlati problémák esetében felmerülő kérdéseket úgy próbálunk megválaszolni, hogy matematikai modellt építünk a problémához kapcsolódóan. Sok esetben a számítást nagyban meggyorsító egyszerű modell is elegendő, ezekben lehetőleg könnyen használható leképezéseket alkalmazunk, ilyenek a lineáris függvények. Ebben a fejezetben néhány egyszerű példán keresztül megmutatjuk, hogy már a lineáris modellek segítségével is lehet egészen jó közelítő megoldásokat kapni.
A költségfüggvény, \(C(q)\text{,}\) megadja valamilyen áru \(q\) mennyiségének előállításához szükséges teljes költséget. Az összköltség = állandó költségek + változó költségek, ahol az állandó költségek akkor is felmerülnek, ha semmit sem termelnek, a változó költségek pedig attól függnek, hogy hány darabot állítanak elő. Ha \(C(q)\) egy lineáris költségfüggvény: az állandó költségeket a függőleges metszéspont képviseli, a határköltséget a meredekség jelöli.
A bevételi függvény, \(R(q),\) megadja a vállalkozás által egy adott termék eladásából származó teljes bevételt. \(q\) mennyiség eladásából származó áruból. Ha az árut egységenként \(p\) áron adják el, akkor Bevétel = ár ∗ mennyiség, ami pontosan ugyanaz, mint \(R = pq.\) Ha az ár nem függ az eladott mennyiségtől, tehát \(p\) egy konstans, akkor a bevétel grafikonja a \(q\) függvényében egy egyenes az origón keresztül, amelynek meredeksége megegyezik a \(p\) árral. A határbevételt szintén a meredekség ábrázolja.
Jöjjön a profit: profit = bevétel - költségek, ha \(\pi(q)\) jelöli a függvényét a profitnak, akkor \(\pi(q)=R(q)-C(q).\)
Példa 4.4.1. Bevétel, költség, profit.
Az alábbi ábra egy vállalat költségeit és bevételeit mutatja.
Keressük meg a \(C(q)\) költségfüggvény állandó költségeit és határköltségét.
Keressünk képletet a \(C(q)\) függvényre.
Keressünk képletet az \(R(q)\) értékére.
Körülbelül mekkora mennyiséget kell ennek a vállalatnak termelnie ahhoz, hogy nyereséget érjen el?
Becsüljük meg az 500 darabból származó nyereséget.
Az egyik irányban már tudunk lépéseket tenni, ha lineáris modellel dolgozunk könnyen meg tudunk határozni közelítő megoldásokat bizonyos kérdések esetében. Mi a helyzet akkor, ha egy gyakorlati probléma esetén rendelkezünk adatokkal és első közelítésben kíváncsiak vagyunk milyen eredményre vezetne egy lineáris modell. Hogyan találjunk az adatokhoz "jól illeszkedő" lineáris modellt? Ezt segíti elő a lineáris regresszió.
Van
\(n\) mérési eredményünk
\((x_i,y_i), i=1,2,\ldots,n.\) Szeretnénk olyan egyenest találni
\(y=ax+b\) amely lehetőleg minden mérési eredményhez "közel" van. Minden mérési eredménynél meg tudjuk nézni mennyire jól illeszkedik a modell:
\(y_i-ax_i-b.\) Egy jó gyakorlati módszer a hibák nagyságának lehetséges minimalizálása:
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^n (y_i-ax_i-b)^2.
\end{equation*}
Erre a problémára vissza fogunk térni, amikor már ismerjük a függvényvizsgálat megfelelő eredményeit.
Feladatok Feladatok
1.
Tegyük fel, hogy \(A\) és \(B\) \(5\times5\)-ös mátrixok, amelyekre \(\det(A) = -2\) és \(\det(B) = 5\text{.}\) Határozzuk meg az alábbi determinánsok értékeit:
\(\det(2A)\text{.}\)
\(\det(A^3)\text{.}\)
\(\det(AB)\text{.}\)
\(\det(-A)\text{.}\)
\(\det(AB^{-1})\text{.}\)
Megoldás.
Itt mind az 5 sort szorozzuk \(2\)-vel. Azaz, \(\det(2A) = 2^5\det(A) =
-64\text{.}\)
Ebben az esetben \(\det(A^3) = (\det(A))^3 = -8\text{.}\)
A szorzásra vonatkozó szabály alapján: \(\det(AB) = \det(A) \det(B) =
-10\text{.}\)
Minden sort \(-1\)-gyel felszorzunk, ezért \(\det(-A) = (-1)^5\det(A) =
2\text{.}\)
\(\det(AB^{-1}) = \det(A) \det(B^{-1}) = \det(A)/\det(B)
= -\frac 25\text{.}\)
2.
Tekintsük a következő mátrixokat:
\begin{equation*}
A = \left[\begin{array}{rrrr}
0 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \\
1 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\
\end{array}\right],~~~
B = \left[\begin{array}{rrrr}
0 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \\
1 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\
0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \\
0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \\
\end{array}\right],~~~
C = \left[\begin{array}{rrrr}
0 \amp 0 \amp 0 \amp a \\
0 \amp 0 \amp b \amp 0 \\
0 \amp c \amp 0 \amp 0 \\
d \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\
\end{array}\right]\text{.}
\end{equation*}
Sorműveletekkel határozzuk meg a determinánsokat!
Megoldás.
Három sorcsere szükséges megmutatni, hogy \(A\sim
I\text{,}\) ezért \(\det(A) = -1\text{.}\)
Két sorcsere után: \(A\sim I\) azaz \(\det(B) = 1\text{.}\)
Két sorcsere diagonális mátrixra vezet, ezért: \(\det(C) = abcd\text{.}\)
3.
Adott a következő paraméteres mátrix:
\begin{equation*}
A = \left[\begin{array}{rrr}
0 \amp 1 \amp x \\
2 \amp 2 \amp y \\
-1 \amp 0 \amp z \\
\end{array}\right]\text{.}
\end{equation*}
Tegyük fel, hogy \(\det(A) = 0\text{.}\) Írjunk fel \(x,y,z\)-re a feltételből adódó egyenletet!
4.
Az alábbi mátrix egy speciális, úgynevezett Vandermonde mátrix:
\begin{equation*}
V = \left[\begin{array}{rrr}
1 \amp a \amp a^2 \\
1 \amp b \amp b^2 \\
1 \amp c \amp c^2 \\
\end{array}\right]\text{.}
\end{equation*}
Mutassuk meg, hogy \(\det(V) =
(b-a)(c-a)(c-b)\text{.}\)
5.
Adott a következő mátrix és 2 vektor:
\begin{equation*}
A = \left[\begin{array}{rr}
8 \amp -10 \\
5 \amp -7 \\
\end{array}\right],\qquad
\vvec_1=\twovec{2}{1},~~~
\vvec_2=\twovec{1}{1}\text{.}
\end{equation*}
Mutassuk meg, hogy ezek sajátvektorok és határozzuk meg a sajátértékeket!
6.
Adott egy \(A\) \(2\times2\)-es mátrix. Tudjuk, hogy a sajátvektorai:
\begin{equation*}
\vvec_1=\twovec{2}{1}, \qquad
\vvec_2=\twovec{-1}{2}
\end{equation*}
a kapcsolódó sajátértékek pedig \(\lambda_1=2\) és \(\lambda_2=-3\text{.}\)
Ha \(\xvec=\twovec{5}{0}\text{,}\) határozzuk meg az \(A^4\xvec\) vektort!
Milyen vektorokat kapunk a következő műveletekkel: \(A\twovec10\) és \(A\twovec01\text{?}\)
Mi az eredeti \(A\) mátrix?
Megoldás.
Kapjuk, hogy \(\xvec = 2\vvec_1-\vvec_2\text{.}\) Ezért \(A^4\xvec = 2\lambda_1^4\vvec_1-\lambda_2^4\vvec_2 =
32\vvec_1-81\vvec_2=\twovec{145}{-130}\text{.}\)
Adódik, hogy
\begin{equation*}
\twovec10 = \frac25 \vvec_1 - \frac15 \vvec_2,~~~
\twovec01 = \frac15 \vvec_1 + \frac25 \vvec_2,
\end{equation*}
és így
\begin{equation*}
A\twovec10 = \frac45 \vvec_1 + \frac35 \vvec_2 = \twovec12,~~~
A\twovec01 = \frac25 \vvec_1 - \frac65 \vvec_2 = \twovec2{-2}.
\end{equation*}
Az előző eredmények alapján: \(A = \begin{bmatrix}
1 \amp 2 \\
2 \amp -2 \\
\end{bmatrix}
\text{.}\)
